Bài tập có đáp án chi tiết về phương trình lượng giác trong đề thi đại học môn toán qua các năm

Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –

70

 Chuyên đề 2: LƯỢNG GIÁC

 Vấn đề 1: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Phương trình lượng giác cơ bản cosx = cos  x =  + k2

sinx = sin  x k2 x k2      

tanx = tan  x =  + k cotx = cot  x =  + k (với k  )

2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác asin2x + bsinx + c = 0. Đặt t = sinx,  t  1 acos2x + bcosx + c = 0. Đặt t = cosx,  t  1 atan2x + btanx + c = 0. Đặt t = tanx acot2x + bcotx + c = 0. Đặt t = cotx

3. Phương trình bậc nhất đối với sinx, cosx asinx + bcosx = c (*) Điều kiện có nghiệm: a2 + b2  c2

 Cách 1: Chia hai vế cho 2 2 a b   0

(*) 

2 2 a

a b 

sinx +

2 2 b

a b 

cosx =

2 2 c

a b 

Do

2

2 2 a

a b

      

+

2

2 2 b

a b

      

= 1

Nên có thể đặt

2 2 a

a b 

= cos,

2 2 b

a b 

= sin

Khi đó:

(*)  sinxcos + sincosx =

2 2 c

a b 

 sin(x + ) =

2 2 c

a b 

 Cách 2: Chia hai vế cho a (giả sử a  0)

(*)  sinx + b

a

cosx = c

a

Đặt b

a

= tan. Khi đó: (*)  sinx + sin

cos





cosx = c

a

TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN

71

 sinx cos + sin cosx = c

a

cos  sin(x + ) = c

a

cos

 Cách 3: Đặt ẩn số phụ.  Xét x = (2k + 1) với (k  ) có là nghiệm 0  Xét x  (2k + 1) với (k  )

Đặt t = tan x

2

Khi đó: (*)  a 2 2t

1 t 

+ b

2

2 1 t

1 t





= c  (b + c)t2 – 2at + c – b = 0

4. Phương trình đối xứng: a(sinx + cosx) + bsinxcosx + c = 0

Đặt t = sinx + cosx = 2 cos x 4        

Điều kiện  t  2

Khi đó: t2 = 1 + 2sinxcosx  sinxcosx =

2t 1 2



Thay vào phương trình ta được phương trình đại số theo t.  Chú ý: a(sinx  cosx) + bsinxcosx + c = 0

Đặt t = sinx – cosx (với t 2  )

5. Phương trình đẳng cấp bậc 2 đối với sinx, cosx asin2x + bsinxcosx + ccos2x = 0

 Xét cosx = 0  x =

2 + k (k  ) có là nghiệm không?

 Xét cosx  0. Chia 2 vế cho cos2x ta thu được phương trình bậc 2 theo tanx.  Chú ý: Nếu là phương trình đẳng cấp bậc k đối với sinx, cosx thì ta xét cosx = 0

và xét cosx  0 chia 2 vế của phương trình cho coskx và ta thu được một phương trình bậc k theo tanx.

B. ĐỀ THI

Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2011

Giải phương trình: 2 1 sin2x cos2x 2 sinx.sin2x 1 cot x

   

.

Giải Điều kiện: sinx  0. Khi đó:

(1)      

2

1 sin2x cos2x 2 sinx. 2sinxcosx 1

sin x

Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –

72

      2 2 sin x 1 sin2x cos2x 2 2sin x.cosx

    1 sin2x cos2x 2 2 cosx (vì sinx  0)

    2 2cos x 2sinxcosx 2 2 cosx 0

     cosx 0 cosx sinx 2

            cosx 0 sin x 1 4

        x k x k2 2 4

(k  Z) (Thỏa điều kiện sinx  0).

Vậy nghiệm của (1) là        x k x k2 2 4

(k  Z).

Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2011

Giải phương trình: sin2xcosx sinxcosx cos2x sinx cosx    

Giải sin2xcosx sinxcosx cos2x sinx cosx    

 2sinx.cos2x + sinx.cosx = 2cos2x – 1 + sinx + cosx

 sinx.cosx(2cosx + 1) = cosx(2cosx + 1) + sinx – 1

 cosx (2cosx + 1)(sinx – 1) = sinx – 1

 sinx – 1 = 0 hoặc cosx (2cosx + 1) = 1

 sinx = 1 hoặc 2cos2x + cosx – 1 = 0

 sinx = 1 hoặc cosx = –1 hoặc cosx = 1

2

 x k2 2     hoặc x k2   hoặc x k2 3    

 x k2 2     hoặc     2 x k 3 3

(k Z)

Bài 3: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2011

Giải phương trình:     

sin2x 2cosx sinx 1 0 tanx 3

Giải

    

sin2x 2cosx sinx 1 0 tanx 3

. Điều kiện: tanx 3 và cosx  0.

    sin2x 2cosx sinx 1 0        2sinxcosx 2cosx sinx 1 0