Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 12 Tỉnh Bình Dương năm 2021 - 2022

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH DƯƠNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 NĂM HỌC 2021 – 2022

MÔN THI: TOÁN Thời gian: 90 phút (Không kể thời gian phát đề)

Câu 1. [HSG-BÌNH DƯƠNG 2021-2022] Giải phương trình sau trên tập số thực:     4 2 1 2 2 4 2 1 4 5

x x x x x x x

           .

Lời giải

Điều kiện:  

2 4 2 4

2 4 4 4 1 0 4 5 0

x x x x x x x

                         .

Ta có     4 2 1 2 2 4 2 1 4 5

x x x x x x x

                  1 4 2 1 4 5 2 2 2 2 x x x x x x x                           2 9 16 2 2 2 4 2 2 4 3 11 0.(1) x x x x x x x x             

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta được       2 9 16 2 2 2 4 2 2 4 3 11 x x x x x x x x           

    

2 9 16 1 2 2 5 3 11 2

x x x x x x         

       2 3 2 1 1 10 33 36 4 3 0, 2;4 . 2 2 x x x x x x         

Như vậy vế trái của (1) nhỏ hơn hoặc bằng 0. Do đó phương trình có nghiệm khi

4

3

3 2 1

4 2

4 1

x

x

x x

x x

x

                 

.

Thử lại ta kết luận phương trình có nghiệm duy nhất: 3 x  . Câu 2. [HSG-BÌNH DƯƠNG 2021-2022] Cho các số nguyên tố thỏa mãn 1 2 3 4 p p p p    và 4 1 8 p p   . Giả sử 1 5 p  . Chứng minh rằng 1p chia 30 dư 11.

Lời giải Từ giả thiết thì 2 3 , p p chỉ có thể nhận hai trong ba giá trị lần lượt là   1 1 1 2; 4; 6 p p p    .

Trường hợp 1: 2 1

3 1

2

4

p p

p p

       thì trong ba số 1 2 3 , , p p p có một số chia hết cho 3.

Điều này là vô lí.

Trường hợp 2: 2 1

3 1

4

6

p p

p p

       thì trong ba số 2 3 4 , , p p p có một số chia hết cho 3.

Điều này là vô lí.

Do đó 2 1 3 1 4 1 2, 6, 8 p p p p p p      . Từ đó suy ra:  

 

1

1

2 mod 3

1 mod 5

p

p

     .

Kết hợp với 1p lẻ ta suy ra   1 11 mod 30 p  tức ta có điều cần phải chứng minh.

Trang 2/5 – Diễn đàn giáo viên Toán

Câu 3. [HSG-BÌNH DƯƠNG 2021-2022] Cho dãy số  n u với 1 3 5 (2 1) . . ... 2 4 6 (2 2) n n u n

   . Tính lim n u .

Lời giải Ta có

2 1.3 

4 3.5 

6 5.7  …   2 2 (2 1) 2 3 n n n     .

Do đó

2 2 2 2 2.4.6...(2 2) 1 .3 .5 ...(2 1) .(2 3) n n n     1.3.5...(2 1) 2 3 n n    . Suy ra

1 3 5 (2 1) 1 0 . . ... 2 4 6 (2 2) 2 3 n n u n n      

.

Áp dụng nguyên lý kẹp, vì 1 lim 0 2 3 n

  nên lim 0 nu  .

Câu 4. [HSG-BÌNH DƯƠNG 2021-2022] Một hàng cây bưởi Tân Uyên gồm 17 cây thẳng hàng được đánh số cây theo thứ tự là các số tự nhiên từ 1 đến 17. Ban đầu mỗi cây có một con ong đậu trên đó để hút mật hoa. Sau đó, cứ mỗi giờ có hai con ong nào đó bay sang hai cây bên cạnh để tìm và hút mật nhưng theo hai chiều ngược nhau. Hỏi sau một số giờ, có hay không trường hợp mà: a) Không có con ong ở cây có thứ tự chẵn. b) Có 9 con ong ở cây cuối cùng.

Lời giải a) Không có con ong ở cây có thứ tự chẵn. Có thể xảy ra trường hợp này. Chẳng hạn, sau giờ thứ nhất con ong ở cây thứ 2 chuyển sang cây thứ 3, con ong thứ 4 chuyển sang cây thứ 3, ....Sau giờ thứ 4, con ong ở cây 14 chuyển sang cây 15, con ong ở cây 16 chuyển sang cây thứ 15. Lúc này sẽ không còn con ong nào ở cây có thứ tự chẵn. b) Có 9 con ong ở cây cuối cùng. Đánh số các con ong bằng vị trí của cây bưởi mà nó đang đậu. Gọi S là tổng của tất cả các con

ong. Ban đầu ta có

17

1

153

i S i

    .

Khi một con ong bay sang cây bên cạnh, nếu nó bay về hướng cây số 1, trị số gán của con ong đó cũng giảm đi 1; ngược lại, nếu nó bay về hướng cây số 17, trị số gán của con ong đó sẽ tăng thêm 1. Do sau mỗi giờ có hai con ong bay sang cây bên cạnh và ngược hướng nhau nên S const  . Vậy nếu có 9 con ong ở cây cuối cùng thì 153 S  (điều này là vô lí). Cho nên ta kết luận là không thể xảy ra trường hợp này.

Câu 5. [HSG-BÌNH DƯƠNG 2021-2022] Cho   , , 1;1 a b c thỏa mãn 2 2 2 1 2abc a b c     . Chứng

minh rằng 3 3 3 6 6 6 1 2a b c a b c     .

Lời giải Đầu tiên ta có:    2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 ( ) abc a b c a b ab c          . …