Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề bất đẳng thức, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Trang 1

CHUYÊN ĐỀ 6 - BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT

1. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

Các bất đẳng thức cơ bản

- Bất đẳng thức BECNULI

Nếu 1 x − và 1  thì ( ) 1 1 x x   + +

Nếu 1 x − và 0 1    thì ( ) 1 1 x x   + +

- Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân

Nếu 1 2 , ,..., 0 n a a a  thì

1 1

1 n n

n i i i i a a n = =   

Dấu bằng chỉ xảy ra khi và chỉ khi: 1 2 ... n a a a = = =

- Bất đẳng thức CAUCHY-SCHWARTZ

Với hai dãy số thực: 1 2 1 2 , ,..., ; , ,..., n n a a a b b b

thì

2

2 2

1 1 1

n n n

i i i i i i i a b a b

= = =

                  

Dấu bằng chỉ xảy ra khi và chỉ khi 1 1,..., n n a kb a kb = =

- Bất đẳng thức sắp thứ tự

Cho hai dãy số tăng 1 2 ... n a a a    và 1 2 ... n b b b    ( 2 n  )

Nếu 1 2 , ,..., n   là một hoán vị của dãy 1,2,...,n thì:

1 1 1 1 i

n n n

i n i i i i i i i a b a b a b  + − = = =     

- Bất đẳng thức trung bình lũy thừa

Nếu 0 1, ix i n = và 0 p q   thì

1 1

1 1

1 1 n n p p q p i i i i x x n n = =

              

- Bất đẳng thức SHUR

Cho , , 0, 0 a b c r   thì:

( )( ) ( )( ) ( )( ) 0 r r r a a b a c b b a b c c c a c b − − + − − + − − 

- Bất đẳng thức CHEBYCHEP

Trang 2

Nếu hai dãy: 1 2 1 2 ... ; ... n n a a a b b b      

thì:

1 1 1

n n n

i i i i i i i a b n a b

= = =

           

- Bất đẳng thức MIN-COP-XKI

Với hai dãy: 1 2 , ,..., n a a a và 1 2 , ,..., n b b b

thì ( )

2 2 2

1 1 1

n n n

i i i i i i i a b a b

= = = +  +   

Dùng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức:

- Nếu ( ) y f x = có ' 0 y  trên K thì ( ) f x đồng biến trên K:

( ) ( ) ( ) ( ) ; x a f x f a x b f x f b      

Đối với ' 0 y  thì ta có bất đẳng thức ngược lại.

Việc xét dấu 'y đôi khi phải cần đến '', ''',... y y hoặc xét dấu bộ phận, chẳng hạn tử số của một phân số có

mẫu dương,… Nếu '' 0 y  thì 'y đồng biến từ đó ta có đánh giá ( ) 'f x rồi ( ) f x ,…

- Bất đẳng thức có biểu thức dạng ( ) ( ) f b f a b a − −

là dùng định lý Lagrange ( ) ( ) ( ) ' f b f a f c b a − = −

, sự tồn

tại số ( ) ; c a b  hay giá trị ( ) 'f c cũng có đánh giá bất đẳng thức.

- Bất đẳng thức JENSEN: ( ) ; x a b  và ( ) ; 1, ia a b i n  =

Nếu ( ) ( ) '' 0, ; f x x a b   thì ( )

1 1

1 1 n n

i i i i f a f a n n = =

        

Nếu ( ) ( ) '' 0, ; f x x a b   thì ( )

1 1

1 1 n n

i i i i f a f a n n = =

       

- Phương pháp tiếp tuyến: Cho n số ia thuộc K có tổng 1 2 ... n a a a nb + + + = không đổi.

Bất đẳng thức có dạng ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 ... n f a f a f a nf b + + +  .

Lập phương trình tiếp tuyến tại x b = : y Ax B = + .

Nếu ( ) f x Ax B  + trên K, dấu bằng xảy ra khi x b = .

Khi đó ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 ... ... n n f a f a f a A a a a nB + + +  + + + +

( ) ( ) Anb nB n Ab B nf b = + = + =

Dấu bằng xảy ra khi 1 2 ... n a a a b = = = = .

Còn nếu ( ) f x Ax B  + trên K, dấu bằng xảy ra khi x b = thì có ngược lại

Trang 3

( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 ... n f a f a f a nf b + + +  .

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

Đối với hàm số ( ) y f x = trên D. Xét dấu đạo hàm 'y hoặc từ bảng biến thiên có kết luận về GTLN,

GTNN. Nếu cần thì đặt ẩn phụ ( ) t g x = với điều kiện đầy đủ của t.

Nếu ( ) y f x = đồng biến trên đoạn   ;a b thì: ( ) ( ) min f x f a = và ( ) ( ) max f x f b = . Ngược lại với

hàm nghịch biến.

Nếu ( ) y f x = liên tục trên đoạn   ;a b và ( ) ' 0 f x = có nghiệm ix thì:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )  

( ) ( ) ( ) ( ) ( )  

1 2

1 2

min min ; ; ;...;

max ; ; ;...;

max

f x f a f x f x f b

=

=

Nếu f lồi trên đoạn   ;a b thì GTLN ( ) ( )   ; max f a f b = và nếu f lõm trên đoạn   ;a b thì GTNN

( ) ( )   ; min f a f b = .

Đối với các đại lượng, chọn đặt biến x (hoặc t), kèm điều kiện tồn tại. Dựa vào giả thiết, các quan hệ cho để xác lập hàm số cần tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.

2. CÁC BÀI TOÁN

Bài toán 6.1: Chứng minh các bất đẳng thức:

a) 2sin tan 3 x x x +  với mọi 0; 2 x       

b) ( ) sin cos …