Tìm m để hàm số đồng biến nghịch biến

Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên R

I. Phương pháp giải tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên

- Định lí: Cho hàm số có đạo hàm trên khoảng

+ Hàm số đồng biến trên khoảng khi và chỉ khi với mọi

giá trị x thuộc khoảng . Dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm.

+ Hàm số nghịch biến trên khoảng khi và chỉ khi với mọi

giá trị x thuộc khoảng . Dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm.

- Để giải bài toán này trước tiên chúng ta cần biết rằng điều kiện để hàm số y=f(x) đồng biến trên R thì điều kiện trước tiên hàm số phải xác định trên .

+ Giả sử hàm số y=f(x) xác định và liên tục và có đạo hàm trên . Khi đó hàm số y=f(x) đơn điệu trên khi và chỉ khi thỏa mãn hai điều kiện sau:

Hàm số y=f(x) xác định trên . Hàm số y=f(x) có đạo hàm không đổi dấu trên .

+ Đối với hàm số đa thức bậc nhất:

Hàm số y = ax + b đồng biến trên khi và chỉ khi a > 0.

Hàm số y = ax + b nghịch biến trên khi và chỉ khi a < 0.

- Đây là dạng bài toán thường gặp đối với hàm số đa thức bậc 3. Nên ta sẽ áp dụng như sau:

Xét hàm số

TH1: (nếu có tham số)

TH2:

+ Hàm số đồng biến trên

+ Hàm số nghịch biến trên

Chú ý: Hàm số đa thức bậc chẵn không thể đơn điệu trên R được.

- Các bước tìm điều kiện của m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên

Bước 1. Tìm tập xác định .

Bước 2. Tính đạo hàm y’ = f’(x).

Bước 3. Biện luận giá trị m theo bảng quy tắc.

Bước 4. Kết luận giá trị m thỏa mãn.

II. Ví dụ minh họa tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên R

Ví dụ 1: Cho hàm số . Tìm tất cả giá trị của m

để hàm số nghịch biến trên

Hướng dẫn giải

Ta có:

Hàm số nghịch biến trên

Đáp án B

Ví dụ 2: Cho hàm số . Tìm m để hàm số

nghịch biến trên .

Hướng dẫn giải

Ta có:

TH1: . Hàm số nghịch biến trên

TH2: . Hàm số nghịch biến trên khi:

Đáp án D

Ví dụ 3: Tìm m để hàm số đồng biến trên

.

Hướng dẫn giải

Để hàm số đồng biến trên thì:

Đáp án A

Ví dụ 4: Cho hàm số . Tìm tất cả

giá trị của m sao cho hàm số luôn nghịch biến.

Hướng dẫn giải

Tập xác định:

Tính đạo hàm:

TH1: Với m = 1 ta có

Vậy m = 1 không thỏa mãn điều kiện đề bài.

TH2: Với ta có:

Hàm số luôn nghịch biến

Ví dụ 5: Tìm m để hàm số nghịch biến trên

Hướng dẫn giải

Tập xác định:

Đạo hàm:

TH1: Với m = -3 (thỏa mãn)

Vậy m = -3 hàm số nghịch biến trên

TH2: Với

Hàm số nghịch biến trên khi

II. Bài tập tự luyện tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên R

Câu 1: Hàm số nào đồng biến trên ?

Câu 2: Cho hàm số . Hỏi hàm số đồng biến trên khi nào?

Câu 3: Cho các hàm số sau:

Hàm số nào nghịch biến trên ?

Câu 4: Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho hàm số

luôn nghịch biến trên

Câu 5: Tìm tất cả các giá trị m để hàm số luôn đồng biến

trên

Câu 6: Cho hàm số . Tìm giá trị nhỏ nhất của m để hàm số luôn đồng biến trên

Câu 7: Cho hàm số y = f(x) = x3 - 6x2 + 9x - 1. Phương trình f(x) = -13 có bao nhiêu

nghiệm?

A. 0 B. 3

C. 2 D. 1

Câu 8: Xác định giá trị của m để hàm số y = x3 - mx2 + (m + 2)x - (3m - 1) đồng

biến trên

A. m < -1 B. m > 2

C. -1 ≤ m ≤ 2 D.-1 < m < 2

Câu 9: Tìm tất cả các giá trị thực của m sao cho hàm số y = x3 - mx2 +(2m - 3) - m

+ 2 luôn nghịch biến trên

A. -3 ≤ m ≤ 1 B. m ≤ 2

C. m ≤ -3; m ≥ 1 D. -3 < m < 1

Câu 10: Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng y = x3 - 3mx2 đồng biến trên

A. m ≥ 0 B. m ≤ 0

C. m < 0 D. m =0

Câu 11: Cho hàm số: y = x3 + (m +1)x2 - (m + 1) + 2. Tìm các giá trị của tham số m sao cho hàm số đồng biến trên tập xác định của nó.

A. m > 4 B. -2 ≤ m ≤ -1

C. m < 2 D. m < 4

Câu 12: Cho hàm số: y = x3 + 2x2 - mx + 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số nghịch biến trên tập xác định của nó.

A. m ≥ 4 B. m ≤ 4

C. m > 4 D. m < 4

Câu 13: Tìm tham số m để hàm số đồng biến trên tập xác định của chúng:

A. m ≥ -1 B. m ≤ -1

C. m ≤ 1 D. m ≥ 2

Câu 14: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số: