Tài liệu tọa độ trong không gian

Trang 1/22

CHỦ ĐỀ 1. TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN A. LÝ THUYẾT 1. Hệ trục tọa độ trong không gian Trong không gian, xét ba trục tọa độ , , Ox Oy Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung một

điểm gốc O. Gọi , , i j k 

là các vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục , , Ox Oy Oz . Hệ ba trục như vậy gọi là hệ trục tọa độ vuông góc trong không gian.

Chú ý:

2 2 2 1 i j k = = =   

và . . . 0 i j i k k j = = =   

. 2. Tọa độ của vectơ a) Định nghĩa: ( ) ; ; u x y z u xi y j zk = ⇔ = + +     

b) Tính chất: Cho 1 2 3 1 2 3 ( ; ; ), ( ; ; ), a a a a b b b b k = = ∈   

• 1 1 2 2 3 3 ( ; ; ) a b a b a b a b ± = ± ± ±   • 1 2 3 ( ; ; ) ka ka ka ka = 

•

1 1

2 2

3 3

a b

a b a b

a b

=   = ⇔ =   = 

 

• 0 (0;0;0), (1;0;0), (0;1;0), (0;0;1) i j k = = = =    

• a 

cùng phương ( 0) b b ≠  

⇔ ( ) a kb k = ∈   

1 1

3 1 2 2 2 1 2 3 1 2 3 3 3

, ( , , 0)

a kb a a a a kb b b b b b b a kb

=   ⇔ = ⇔ = = ≠   = 

• 1 1 2 2 3 3 . . . . a b a b a b a b = + +   • 1 1 2 2 3 3 0 a b a b a b a b ⊥ ⇔ + + =  

• 2 2 2 2 1 2 3 a a a a = + +  • 2 2 2 1 2 2 a a a a = + + 

• 1 1 2 2 3 3

2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3

. cos( , ) . .

a b a b a b a b a b a b a a a b b b

+ + = = + + + +

      (với , 0 a b ≠    )

3. Tọa độ của điểm a) Định nghĩa: ( ; ; ) . . . M x y z OM x i y j z k ⇔ = + +    

(x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ) Chú ý: • ( ) ( ) ( ) 0; 0; 0 M Oxy z M Oyz x M Oxz y ∈ ⇔ = ∈ ⇔ = ∈ ⇔ =

• 0; 0; 0 M Ox y z M Oy x z M Oz x y ∈ ⇔ = = ∈ ⇔ = = ∈ ⇔ = = . b) Tính chất: Cho ( ; ; ), ( ; ; ) A A A B B B A x y z B x y z

• ( ; ; ) B A B A B A AB x x y y z z = − − − 

• 2 2 2 ( ) ( ) ( ) B A B A B A AB x x y y z z = − + − + −

• Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB : ; ; 2 2 2

A B A B A B x x y y z z M + + +      

• Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC :

; ; 3 3 3

A B C A B C A B C x x x y y y z z z G + + + + + +      

• Toạ độ trọng tâmG của tứ diện ABCD :

; ; 4 4 4

A B C D A B C D A B C C x x x x y y y y z z z z G + + + + + + + + +      

4. Tích có hướng của hai vectơ

a) Định nghĩa: Trong không gian Oxyz cho hai vectơ 1 2 3 ( ; ; ) a a a a = 

, 1 2 3 ( ; ; ) b b b b = 

. Tích có hướng

của hai vectơ a 

và ,b 

kí hiệu là ,a b     

, được xác định bởi

Trang 2/22

( ) 2 3 3 1 1 2 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 2 3 3 1 1 2 , ; ; ; ; a a a a a a a b a b a b a b a b a b a b b b b b b b

   = = − − −      

 

Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số. b) Tính chất: • [ , ] ; [ , ] a b a a b b ⊥ ⊥    

• , , a b b a     = −      

• , ; , ; , i j k j k i k i j      = = =              

• ( ) [ , ] . .sin , a b a b a b =      (Chương trình nâng cao)

• ,a b 

cùng phương [ , ] 0 a b ⇔ =  

(chứng minh 3 điểm thẳng hàng) c) Ứng dụng của tích có hướng: (Chương trình nâng cao) • Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ: ,a b 

và c 

đồng phẳng ⇔ [ , ]. 0 a b c = 

• Diện tích hình bình hành ABCD : , ABCD S AB AD   =    

• Diện tích tam giác ABC : 1 , 2 ABC S AB AC ∆   =   

• Thể tích khối hộp ABCDA B C D ′ ′ ′ ′: . ' ' ' ' [ , ]. ABCD A B C D V AB AD AA′ = 

• Thể tích tứ diện ABCD : 1 [ , ]. 6 ABCD V AB AC AD = 

Chú ý: – Tích vô hướng của hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, tính góc giữa hai đường thẳng. – Tích có hướng của hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh các vectơ cùng phương.

[ ] [ ]

0 0 0

a b a b a vaø b cuøng phöông a b a b c ñoàng phaúng a b c

. , , , , .

⊥ ⇔ = ⇔ = ⇔ =

              

5. Một vài thao tác sử dụng máy tính bỏ túi (Casio Fx570 Es Plus, Casio Fx570 Vn Plus, Vinacal 570 Es Plus ) Trong không gian Oxyz cho bốn điểm ( ) ( ) ( ) ( ) ;y ; , ; ;z , ; ;z , ; ;z A A A B B B C C C D D D A x z B x y C …