Các phép toán trên tập hợp số phức

Trang 1/29

CHỦ ĐỀ 1. DẠNG ĐẠI SỐ VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP SỐ PHỨC A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Định nghĩa.

• Đơn vị ảo : Số i mà 2 1 i = − được gọi là đơn vị ảo. • Số phức z a bi = + với ,a b∈. Gọi a là phần thực, b là phần ảo của số phức z .

• Tập số phức { } 2 / , ; 1 a bi a b i = + ∈ = −   . Tập số thực  là tập con của tập số phức .

• Hai số phức bằng nhau: a c a bi c di b d

=  + = + ⇔= 

với , , , a b c d ∈.

 Đặc biệt:

 Khi phần ảo 0 b z a z = ⇔ = ∈ ⇔  là số thực,  Khi phần thực 0 a z bi z = ⇔ = ⇔ là số thuần ảo,  Số 0 0 0i = + vừa là số thực, vừa là số ảo. 2. Môđun của số phứC.

• 2 2 z a bi a b = + = + được gọi là môđun của số phức z .

• Kết quả: z ∀∈ ta có:

2 2

1 2 1 2

1 1

2 2

0; 0 0;

. .

z z z z z

z z z z

z z z z

≥ = ⇔ = =

=

=

3. Số phức liên hợp.

• Cho số phức z a bi = + . Ta gọi số phức liên hợp của z là z a bi = − . • Kết quả: z ∀∈ ta có:

1 2 1 2

1 1 1 2 1 2 2 2

;

. .

z z z z z z z z

= = ± = ±

  = =    

z là số thực z z ⇔ = z là số thuần ảo z z ⇔ = − 4. Phép toán trên tập số phức:

Cho hai số phức 1z a bi = + và 2z c di = + thì:

• Phép cộng số phức: ( ) ( ) 1 2 z z a c b d i + = + + +

• Phép trừ số phức: ( ) ( ) 1 2 z z a c b d i − = − + −

 Mọi số phức z a bi = + thì số đối của z là ( ) ( ) : 0 z a bi z z z z −= −− + − = − + =

• Phép nhân số phức: ( ) ( ) 1 2 . z z ab bd ad bc i = − + +

 Chú ý

4

4 1

4 2

4 3

1

1

k

k

k

k

i

i i

i

i i

+

+

+

 =  =  = −   = − 

• Phép chia số phức:

 Số phức nghịch đảo của 0 z a bi = + ≠ : 2 2 2 1 1 z z z a b z = = ⋅ +

Trang 2/29

 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2

. z z z ac bd bc ad i z c d c d z

+ − = = + ⋅ + + (với 2 0 z ≠ ).

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

A. Môđun của số phức z là một số âm.

B. Môđun của số phức z là một số thực.

C. Môđun của số phức z a bi = + là 2 2 z a b = + .

D. Môđun của số phức z là một số thực không âm.

Câu 2. Cho số phức 5 4 z i = − . Môđun của số phức z là

A. 3. B. 41 . C. 1. D. 9. Câu 3. Cho số phức 5 4 z i = − . Số phức đối của z có tọa độ điểm biểu diễn là

A. ( ) 5;4 − . B. ( ) 5; 4 − . C. ( ) 5; 4 − − . D. ( ) 5;4 .

Câu 4. Cho số phức 6 7 z i = + . Số phức liên hợp của z là

A. 6 7 z i = + . B. 6 7 z i = −− . C. 6 7 z i = −+ . D. 6 7 z i = − . Câu 5. Các số thực ,x y thỏa mãn: ( ) 3 5 2 1 x y xi y x y i + + = −+ − là

A. ( ) 1 4 ; ; 7 7 x y   = −    

. B. ( ) 2 4 ; ; 7 7 x y   = −    

.

C. ( ) 1 4 ; ; 7 7 x y   =    

. D. ( ) 1 4 ; ; 7 7 x y   = − −    

.

Câu 6. Cho hai số phức 1 1 2 z i = + và 2 2 3 z i = − . Khẳng định nào sau đây là khẳng định Sai?

A. 2

1

4 7 5 5 z i z = − − . B. 1 1 2 5 1 z z i −− = −+ .

C. 1 1 2 . 9 z z z i + = + . D. 1 2 . 65 z z = .

Câu 7. Cho hai số phức 1 1 2 z i = + và 2 2 3 z i = − . Phần ảo của số phức 1 2 3 2 w z z = − là

A. 12. B. 11. C. 1. D. 12i . Câu 8. Cho số phức 4 3 z i = − . Phần thực, phần ảo của số phức z lần lượt là

A. 4; 3 −. B. 4;3 − . C. 4;3. D. 4; 3 − −.

Câu 9. Điểm ( ) 1;3 M − là điểm biểu diễn của số phức

A. 1 3 z i = −+ . B. 1 3 z i = − . C. 2 z i = . D. 2 z = .

Câu 10. Số phức 7 17 5 i z i − = − có phần thực là

A. 2. B. 9 13 . C. 3. D. 3 −.

Câu 11. Các số thực ,x y thỏa mãn: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 1 2 3 2 2 4 3 x y x y i x y x y i + + + −+ = − + + − − là

A. ( ) 9 4 ; ; 11 11 x y   = − −    

. B. ( ) 9 4 ; ; 11 11 x y   =    

.

C. ( ) 9 4 ; ; 11 11 x y   = −    

. D. ( ) 9 4 ; ; 11 11 x y   = −    

.