Tài liệu ứng dụng tích phân

Trang 1/34

CHỦ ĐỀ 3. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Diện tích hình phẳng

a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số ( ) y f x  liên tục trên đoạn   ;a b , trục hoành và

hai đường thẳng x a  , x b  được xác định: ( )

b

a S f x dx 

b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số ( ) y f x  , ( ) y g x  liên tục trên đoạn   ;a b và

hai đường thẳng x a  , x b  được xác định: ( ) ( )

b

a S f x g x dx   

Chú ý:

- Nếu trên đoạn [ ; ] a b , hàm số ( ) f x không đổi dấu thì: ( ) ( )

b b

a a f x dx f x dx   

- Nắm vững cách tính tích phân của hàm số có chứa giá trị tuyệt đối - Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường ( ) x g y  , ( ) x h y  và hai đường thẳng y c  ,

y d  được xác định: ( ) ( )

d

c S g y h y dy   

2. Thể tích vật thể và thể tích khối tròn xoay

a) Thể tích vật thể:

Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b; ( ) S x là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x ,

( ) a x b   . Giả sử ( ) S x là hàm số liên tục trên đoạn [ ; ] a b .

Khi đó, thể tích của vật thể B được xác định: ( )

b

a V S x dx 

( )

b

a S x dx V = ∫ x O

a b

( ) V

S(x)

x

 =  =  =   = 

1 1

2 2

( ): ( )

( ): ( ) ( )

C y f x

C y f x H x a x b

1 ( ) C

2 ( ) C

1 2 ( ) ( )

b

a S f x f x dx = − ∫ a 1c

y

O b x 2c

= = =  = 

( )

( )

y f x y 0 H x a x b a 1c 2c

= ( ) y f x

y

O x

3c b

( )

b

a S f x dx = ∫

Trang 2/34

b) Thể tích khối tròn xoay:

Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường ( ) y f x  , trục

hoành và hai đường thẳng x a  , x b  quanh trục Ox:

Chú ý:

- Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường ( ) x g y  , trục

hoành và hai đường thẳng y c  , y d  quanh trục Oy:

- Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường ( ) y f x  ,

( ) y g x  và hai đường thẳng x a  , x b  quanh trục Ox:

2 2 ( ) ( )

b

a V f x g x dx    

c

y

O

d

x

( ): ( ) ( ):

 =  = =  = 

C x g y Oy x 0 y c y d

[ ]

2 ( )

d

y c V g y dy = π∫

( ): ( ) ( ):

 =  = =  = 

C y f x Ox y 0 x a x b

[ ]

2 ( )

b

x a V f x dx = π∫ a

= ( ) y f x

y

O b x

Trang 3/34

B. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM I- Câu hỏi tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: Những điểm cần lưu ý: Trường hợp 1. Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các

đường ( ), ( ), , y f x y g x x a x b     là ( ) ( )

b

a S f x g x dx    .

Phương pháp giải toán +) Giải phương trình ( ) ( ) (1) f x g x 

+) Nếu (1) vô nghiệm thì   ( ) ( )

b

a S f x g x dx    .

+) Nếu (1) có nghiệm thuộc .  ;a b . giả sử  thì

    ( ) ( ) ( ) ( )

b

a S f x g x dx f x g x dx



      

Chú ý: Có thể lập bảng xét dấu hàm số ( ) ( ) f x g x  trên đoạn   a; b rồi dựa vào bảng xét dấu để tính

tích phân. Trường hợp 2. Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các

đường ( ), ( ) y f x y g x   là ( ) ( ) S f x g x dx



    . Trong đó ,  là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của

phương trình ( ) ( ) f x g x    a b      .

Phương pháp giải toán Bước 1. Giải phương trình ( ) ( ) f x g x  tìm các giá trị , .

Bước 2. Tính ( ) ( ) S f x g x dx



    như trường hợp 1.

Câu 1. Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số ( ) y f x  , ( ) y g x  liên tục

trên [ ; ] a b và hai đường thẳng x a  , x b  ( ) a b  là:

A. ( ) ( ). b

a S f x g x dx     . B. ( ( ) ( )) b

a S f x g x dx    .

C. 2 ( ( ) ( )) . b

a S f x g x dx    . D. ( ) ( ). b

a S f x g x dx    .

Câu 2. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số  y f x  , liên tục trên [ ; ] a b trục hoành

và hai đường thẳng   , x a x b a b    cho bởi công thức:

A.  .

b

a S f x dx  B.  .

b

a S f x dx  C.  .

b

a S f x dx  …