Câu hỏi trắc nghiệm nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

155

CHUÛ ÑEÀ

3.

NGUYÊN HÀM -–TÍCH PHÂN

VÀ ỨNG DỤNG

TỔNG HỢP KIẾN THỨC

 Baøi 01

NGUYEÂN HAØM 1. Định nghĩa

Cho hàm số  f x xác định trên khoảng K . Hàm số  F x được gọi là nguyên hàm

của hàm số  f x nếu   ' F x f x  với mọi x K  .

Nhận xét. Nếu  F x là một nguyên hàm của  f x thì    , F x C C   cũng là

nguyên hàm của  f x .

Ký hiệu:   d f x x F x C    .

2. Tính chất

    

/ d f x x f x   .

     . d . d , 0 a f x x a f x x a a       .

     d d d f x g x x f x x g x x           .

3. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

Bảng nguyên hàm

d k x kx C    , k là hằng số

 

1 d 1 1 x x x C

   

         

1 1 d . 1

ax b ax b x C a

 



      

1 d ln x x C x    1 1 d ln x ax b C ax b a     

d x x e x e C    1 d ax b ax b e x e C a

    

d ln

x x a a x C a    d .ln

mx n mx n a a x C m a

    

cos d sin x x x C        1 cos d sin ax b x ax b C a     

sin d cos x x x C        1 sin d cos ax b x ax b C a     

2 1 d tan cos x x C x        2 1 1 d tan cos x ax b C a ax b     

156

2 1 d cot sin x x C x        2 1 1 d cot sin x ax b C a ax b     

CAÂU HOÛI TRAÉC NGHIEÄM

Câu 1. Hàm số  f x có nguyên hàm trên K nếu:

A.  f x xác định trên K . B.  f x có giá trị lớn nhất trên K .

C.  f x có giá trị nhỏ nhất trên K . D.  f x liên tục trên K .

Câu 2. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. Nếu  F x là một nguyên hàm của  f x trên   ;a b

và C là hằng số thì   d f x x F x C    .

B. Mọi hàm số liên tục trên   ;a b đều có nguyên hàm trên   ;a b .

C.  F x là một nguyên hàm của  f x trên       / ; , ; a b F x f x x a b    .

D.    

/ d f x x f x   .

Câu 3. Xét hai khẳng định sau:

(I) Mọi hàm số  f x liên tục trên đoạn   ;a b đều có đạo hàm trên đoạn đó.

(II) Mọi hàm số  f x liên tục trên đoạn   ;a b đều có nguyên hàm trên đoạn đó.

Trong hai khẳng định trên:

A. Chỉ có (I) đúng. B. Chỉ có (II) đúng.

C. Cả hai đều đúng. D. Cả hai đều sai.

Câu 4. Hàm số  F x được gọi là nguyên hàm của hàm số  f x trên đoạn   ;a b nếu:

A. Với mọi   ; x a b  , ta có   / F x f x  .

B. Với mọi   ; x a b  , ta có   / f x F x  .

C. Với mọi   ; x a b  , ta có   / F x f x  .

D. Với mọi   ; x a b  , ta có   / F x f x  , ngoài ra    / F a f a  và    / F b f b  .

Câu 5. Trong các câu sau đây, nói về nguyên hàm của một hàm số f xác định trên

khoảng D , câu nào là sai?

(I) F là nguyên hàm của f trên D nếu và chỉ nếu   : ' x D F x f x   .

(II) Nếu f liên tục trên D thì f có nguyên hàm trên D .

(III) Hai nguyên hàm trên D của cùng một hàm số thì sai khác nhau một hằng số.

A. Không có câu nào sai. B. Câu (I) sai.

C. Câu (II) sai. D. Câu (III) sai.

Câu 6. Giả sử  F x là một nguyên hàm của hàm số  f x trên khoảng   ;a b . Giả sử  G x

cũng là một nguyên hàm của  f x trên khoảng   ;a b . Khi đó: