Bài tập tìm cực trị của hàm số hợp khi biết đồ thị hàm số

Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀMINH HỌA

46. TÌM CỰC TRỊCỦA HÀM SỐHỢP F Å U(X) ã KHI BIẾT ĐỒTHỊHÀM SỐ PHÁT TRIỂN ĐỀMINH HỌA LẦN 1

DẠNG 46. TÌM CỰC TRỊCỦA HÀM SỐHỢP F Å U(X) ã

KHI BIẾT ĐỒTHỊHÀM SỐ

1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ

• Đạo hàm của hàm sốhợp

– g′(x) = f′ ï u(x) ò ⇒g′(x) = u(x) · f′ ï u(x) ò

– g′(x) = 0 ⇔



 u(x) = 0

f′ ï u(x) ò = 0.

• Lập bảng biến thiên của hàm sốy = f(x) khi biết đồthịhàm sốy = f′(x).

B1. Xác định giao điểm của đồthịhàm sốy = f′(x) với trục hoành.

B2. Xét dấu của hàm sốy = f′(x), ta làm như sau.

∗Phần đồthịcủa f′(x) nằm bên trên trục hoành trong khoảng (a; b) thì f′(x) > 0, x ∈(a; b).

∗Phần đồthịcủa f′(x) nằm bên dưới trục hoành trong khoảng (a; b) thì f′(x) < 0, x ∈(a; b).

• Lập bảng biến thiên của hàm sốg(x) = f(x) + u(x) khi biết đồthịhàm sốy = f′(x).

B1. Đạo hàm g′(x) = f′(x) + u′(x). Cho g′(x) = 0 ⇔f′(x) = −u′(x).

B2. Xác định giao điểm của đồthịhàm sốy = f′(x) và đồthịhàm sốy = −u′(x).

B3. Xét dấu của hàm sốy = g′(x), ta làm như sau.

∗Phần đồthịcủa f′(x) nằm bên trên đồthị−u′(x) trong khoảng (a; b) thì g′(x) > 0, x ∈(a; b).

∗Phần đồthịcủa f′(x) nằm bên dưới đồthị−u′(x) trong khoảng (a; b) thì g′(x) < 0, x ∈(a; b).

• Đạo hàm của hàm hợp

ñ

f Å u(x) ãô′ = u′(x) · f′(u).

• Định lí vềcực trịcủa hàm số

∇Cho hàm sốy = f(x) xác định trên D.

∇Điểm x0 ∈D là điểm cực trịcủa hàm sốy = f(x) khi f′(x0) = 0 hoặc f′(x0) không xác định và f′(x) đổi dấu khi đi qua x0.

• Sựtương giao của hai đồthị

50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀMINH HỌA LẦN 1

46. TÌM CỰC TRỊCỦA HÀM SỐHỢP F Å U(X) ã KHI BIẾT ĐỒTHỊHÀM SỐ PHÁT TRIỂN ĐỀMINH HỌA LẦN 1

∇Hoành độgiao điểm của hai đồthịhàm sốy = f(x) và y = g(x) là nghiệm của phương trình f(x) = g(x) (1).

∇Sốnghiệm của phương trình (1) bằng sốgiao điểm của hai cực trị.

• Tính chất đổi dấu của biểu thức: Gọi x = α là một nghiệm của phương trình: f(x) = 0. Khi đó

∇Nếu x = α là nghiệm bội bậc chẳn Å (x−α)2, (x −α)4, . . . ã thì hàm sốy = f(x) không

đổi dấu khi đi qua α.

∇Nếu x = α là nghiệm đơn hoặc nghiệm bội bậc lẻ Å (x −α), (x −α)3, . . . ã thì hàm số

y = f(x) đổi dấu khi đi qua α.

2 BÀI TẬP MẪU

Ví dụ1. Cho hàm sốbậc bốn y = f(x) có đồthịnhư hình bên. Sốđiểm cực trịcủa hàm sốg(x) = f x3 + 3x2 là A 5. B 3. C 7. D 11.

y

x O 4

Lời giải.

Phân tích hướng dẫn giải

1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tìm sốcực trịcủa hàm hợp f Å u(x) ã khi biết đồthị

hàm sốf(x). 2. HƯỚNG GIẢI

B1. Tính đạo hàm của hàm số: g(x) = f x3 + 3x2 .

B2. Dựa vào đồthịcủa hàm f(x) ta suy ra sốnghiệm của phương trình g′(x) = 0.

B3. Lập bảng biến thiên của hàm sốg(x) = f x3 + 3x2 và suy ra sốcực trị.

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀMINH HỌA

46. TÌM CỰC TRỊCỦA HÀM SỐHỢP F Å U(X) ã KHI BIẾT ĐỒTHỊHÀM SỐ PHÁT TRIỂN ĐỀMINH HỌA LẦN 1

y

x O 4

a

b

c

Từđồthị, ta có bảng biến thiên của y = f(x) như sau

x

f′(x)

f(x)

−∞ a b c +∞

− 0 + 0 − 0 +

+∞ +∞

f(a) f(a)

f(b) f(b)

f(c) f(c)

+∞ +∞

g(x) = f x3 + 3x2 ⇒g′(x) = x3 + 3x2 ′ f′ x3 + 3x2 = 3x2 + 6x f′ x3 + 3x2 .

g′(x) = 0 ⇔ 3x2 + 6x f′ x3 + 3x2 = 0 ⇔

ñ 3x2 + 6x = 0

f x3 + 3x2 = 0 ⇔





ñ x = −2

x = 0 



x3 + 3x2 = a < 0 (1)

x3 + 3x2 = b ∈(0; 4) (2)

x3 + 3x2 = c > 4 (3)

.

Xét hàm sốh(x) = x3 + 3x2 ⇒h(x) = 3x2 + 6x ⇒h(x) = 0 ⇔

ñ x = 0

x = −2. Bảng biến thiên

x

h′(x)

h(x)

−∞ −2 0 +∞

+ 0 − 0 +

−∞ −∞

4

0

+∞ +∞

Từbảng biến thiên, ta thấy.

• Đường thẳng y = a cắt đồthịhàm sốy = h(x) tại 1 điểm.

• Đường thẳng y = b cắt đồthịhàm sốy = h(x) tại 3 điểm.

• Đường thẳng y = c cắt đồthịhàm sốy = h(x) tại 1 điểm.