Xem trước nội dung
50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀMINH HỌA LẦN 1
48. TÍCH PHÂN LIÊN QUAN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH HÀM ẨNPHÁT TRIỂN ĐỀMINH HỌA LẦN 1
DẠNG 48. TÍCH PHÂN LIÊN QUAN ĐẾN PHƯƠNG
TRÌNH HÀM ẨN
1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Các tính chất tích phân:
b Z
a
f(x) dx =
c Z
a
f(x) dx +
b Z
c
f(x) dx với a < c < b.
k
b Z
a
f(x) dx =
b Z
a
kf(x) dx(k ̸= 0).
b Z
a
f(x) dx = −
a Z
b
f(x) dx.
b Z
a
f(x) dx = F(x)
b
a = F(b) −F(a).
b Z
a
(f(x) + g(x)) dx =
b Z
a
f(x) dx +
b Z
a
g(x) dx.
b Z
a
f(x) dx =
b Z
a
f(t) dt =
b Z
a
f(z)dz.
b Z
a
f(x) dx = f(x)
b
a = f(b) −f(a).
2. Công thức đổi biến số: Z f (u(x)) · u(x) dx = Z f(u) du, u = u(x).
b Z
a
f (u(x)) · u(x) dx =
u(b) Z
u(a)
f(u) du, u = u(x).
Phương pháp đổi biến sốthường được sửdụng theo hai cách sau đây:
Giảsửcần tính
b Z
a
g(x) dx. Nếu ta viết được g(x) dưới dạng f (u(x)) u(x) thì
b Z
a
g(x) dx =
Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀMINH HỌA
48. TÍCH PHÂN LIÊN QUAN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH HÀM ẨNPHÁT TRIỂN ĐỀMINH HỌA LẦN 1
u(b) Z
u(a)
f(u) du. Vậy bài toán quy vềtính
u(b) Z
u(a)
f(u) du, trong nhiều trường hợp thì tích phân mới
này đơn giản hơn.
Giảsửcần tính
β Z
α
f(x) dx. Đặt x = x(t) thỏa mãn α = x(a), β = x(b) thì
β Z
α
f(x) dx =
b Z
a
f (x(t)) x(t) dt =
b Z
a
g(t) dt
trong đó g(t) = f (x(t)) · x(t).
2 BÀI TẬP MẪU
Ví dụ1. Cho hàm sốf(x) liên tục trên R, và thỏa mãn xf(x3) + f 1 −x2 = −x10 + x6 − 2x, ∀x ∈R.
Khi đó
◦ Z
−1
f(x) dx bằng
A −17
20 . B −13
4 . C 17
4 . D −1.
Lời giải.
50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀMINH HỌA LẦN 1
48. TÍCH PHÂN LIÊN QUAN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH HÀM ẨNPHÁT TRIỂN ĐỀMINH HỌA LẦN 1
Phân tích hướng dẫn giải
1) KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Công thức đổi biến sốtrong tích phân:
b Z
a
f[u(x)] · u(x) dx =
u(b) Z
u(a)
f(u) du.
Tính chất tích phân: a Z
a
f(x) dx = 0.
b Z
a
f(x) dx =
c Z
a
f(x) dx +
b Z
c
f(x) dx.
b Z
a
f(x) dx = f(x)
x=b
x=a = f(b) −f(a).
2) HƯỚNG GIẢI:
B1: Nhân cảhai vếcủa phương trình với x, rồi sửdụng tích phân hai vếđểtính
1 Z
−1
f(x) dx.
B2: Nhân cảhai vếcủa phương trình với x, rồi sửdụng tích phân hai vếđểtính
1 Z
0
f(x) dx.
B3: Kết luận
◦ Z
−1
f(x) dx.
LỜI GIẢI CHI TIẾT Cách 1: Ta có:
xf(x3) + f 1 −x2 = −x10 + x6 −2x, ∀x ∈R
⇔x2f(x3) + xf 1 −x2 = −x11 + x7 −2x2, ∀x ∈R (∗)
Khi đó:
(∗) ⇒
1 Z
−1
x2f(x3) dx +
1 Z
−1
xf 1 −x2 dx =
1 Z
−1
−x11 + x7 −2x2 dx, ∀x ∈R
⇔ 1 3
1 Z
−1
f(t) dt −1
2
◦ Z
0
f(t) dt = −4
3
⇔ 1 3
1 Z
−1
f(t) dt + 0 = −4
3 ⇔
1 Z
−1
f(t) dt = −4 ⇔
1 Z
−1
f(x) dx = −4
Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀMINH HỌA
48. TÍCH PHÂN LIÊN QUAN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH HÀM ẨNPHÁT TRIỂN ĐỀMINH HỌA LẦN 1
Mặt khác:
(∗) ⇒
1 Z
0
x2f(x3) dx +
1 Z
0
xf 1 −x2 dx =
1 Z
0
−x11 + x7 −2x2 dx
⇔ 1 3
1 Z
0
f(t) dt −1
2
◦ Z
1
f(t) dt = −5
8
⇔ 5 6
1 Z
0
f(t) dt = −5
8 ⇔
1 Z
0
f(t) dt = −3
4 ⇔
1 Z
0
f(x) dx = −3
4.
Theo tính chất tích phân ta có:
◦ Z
−1
f(x) dx =
1 Z
−1
f(x) dx −
1 Z
0
f(x) dx = −13
4 .
Cách 2: Bậc cao nhất vếphải là x10, bậc cao nhất vếphải là x.f(x3). Kết luận: f(x) bậc 3 vì x.(x3)3 = x10. Hệsốcủa bậc cao nhất vếphải là −1. Kết luận: Hệsốcủa bậc cao nhất vếtrái là −1. Vậy f(x) = −x3 + ax2 + bx + c. x.f(x3) = −x10 + x · a(x3)2 + · · · = −x10 + ax7 + · · · Vếphải không có x7. Vậy a = 0. Kết luận f(x) = −x3 + bx + c.
x.f(x3) + f 1 −x2 = −x10 + bx4 + cx − 1 −x2 3 + b 1 −x2 + c
= −x10 + bx4 + cx −1 + 3x2 −3x4 + x6 + b −bx2 + c
= −x10 + x6 + (b −3)x4 + (3 −b)x2 + cx + b + c −1.
Tóm lại f(x) = −x3 + 3x −2. Suy ra
◦ Z
−1
f(x) dx = −13
4 .
Chọn phương án B
3 BÀI TẬP TƯƠNG TỰVÀ PHÁT TRIỂN
Câu 1. Cho hàm sốy = f(x) liên tục trên R thỏa mãn 3f(x) + f(2 −x) = 2(x −1)ex2−2x+1 + 4.
Khi đó I =
2 Z
0
f(x) dx bằng
A I = e + 4. B I = 8. C I = 2. D I = e + 2. Lời giải.
Trên đây là phần đầu tài liệu — bấm Đọc sách để xem đầy đủ.
.jpg "Bài Tập Toán Thực Tế Theo Chuyên Đề Toán 12 Phiên Bản 2026 (Dùng Chung 3 Bộ Sách)")
