Bài tập ứng dụng phương trình hàm số giải phương trình mũ và logarit

50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀMINH HỌA LẦN 1

47. ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐGIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT PHÁT TRIỂN ĐỀMINH HỌA LẦN 1

DẠNG 47. ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐGIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT

1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Định lý: Nếu hàm sốy = f(x) đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên (a; b) thì

∀u; v ∈(a; b): f(u) = f(v) ⇔u = v.

Phương trình f(x) = k(k = const) có nhiều nhất 1 nghiệm trên khoảng (a; b).

2. Định lý: Nếu hàm sốy = f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) và liên tục trên (a; b), đồng thời lim x→a+ f(x) · lim x→b−f(x) < 0 thì phương trình f(x) = k(k = const) có duy nhất nghiệm trên (a; b).

2 BÀI TẬP MẪU

Ví dụ1. Có bao nhiêu cặp sốnguyên (x; y) thỏa mãn 0 ≤x ≤2020 và log3(3x + 3) + x = 2y + 9y?

A 2019. B 6. C 2020. D 4.

Lời giải.

Phân tích hướng dẫn giải

1. Phương pháp Tìm hàm đặc trưng của bài toán, đưa phương trình vềdạng f(u) = f(v). 2. HƯỚNG GIẢI:

B1: Đưa phương trình đã cho vềdạng f(u) = f(v).

B2: Xét hàm sốy = f(t) trên miền D. * Tính y và xét dấu y. * Kết luận tính đơn điệu của hàm sốy = f(t) trên D.

B3: Tìm mối liên hệgiữa x; y rồi tìm các cặp số(x; y) rồi kết luận.

Từđó, ta có thểgiải bài toán cụthểnhư sau:

LỜI GIẢI CHI TIẾT ĐK: x > −1. Ta có

log3(3x + 3) + x = 2y + 9y ⇔3 log3(3x + 3) + 3log3(3x+3) = 3(2y + 1) + 32y+1. (∗)

Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀMINH HỌA

47. ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐGIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT PHÁT TRIỂN ĐỀMINH HỌA LẦN 1

Xét hàm sốf(t) = 3t + 3t trên R, vì f′(t) = 3 + 3t · ln 3 > 0, ∀t > 0 nên hàm sốf(t) đồng biến trên R. Từđó (∗) ⇔f (log3(3x + 3)) = f(2y + 1) ⇔log3(3x + 3) = 2y + 1.

Mặt khác 0 ≤x ≤2020 ⇔log3(3x + 3) ∈[1; log3(6063)] ⇒2y + 1 ∈[1; log3(6063)]. ® 1 ≤2y + 1 ≤log3(6063)

y ∈Z ⇔0 ≤y ≤3. Vậy có 4 cặp (x; y) thỏa mãn.

Chọn phương án D

3 BÀI TẬP TƯƠNG TỰVÀ PHÁT TRIỂN

Câu 1. Có bao nhiêu giá trịnguyên của tham sốm ∈[−2019; 2019] đểphương trình:

2019x + 2x −1

x + 1 + mx −2m −1

x −2 = 0 có đúng 3 nghiệm thực phân biệt?

A 4038. B 2019. C 2017. D 4039. Lời giải. TXĐ: D = R \ {−1; 2}. Ta có

2019x + 2x −1

x + 1 + mx −2m −1

x −2 = 0

⇔ 2019x + 2x −1

x + 1 + m(x −2) −1

x −2 = 0

⇔ 2019x + 2x −1

x + 1 − 1 x −2 = −m. (∗)

Đặt f(x) = 2019x + 2x −1

x + 1 − 1 x −2. Khi đó f′(x) = 2019x ln 2019 + 3 (x + 1)2 + 1 (x −2)2 > 0∀x ∈D.

Ta có bảng biến thiên

x y′

y

−∞ −2 3 +∞ + + +

1

+∞

−∞

+∞

+∞

+∞ +∞

Dựa vào bảng biến thiên, đểphương trình (∗) có 3 nghiệm thực phân biệt thì −m > 2 ⇒m < −2. Mà m ∈[−2019; 2019] và m ∈Z nên có 2017 giá trịm thỏa mãn. Chọn phương án C

Câu 2. Có bao nhiêu cặp sốnguyên (x; y) thỏa mãn 0 ≤y ≤2020 và log3

Å2x −1

y

ã = y+1−2x?

A 2019. B 11. C 2020. D 4. Lời giải.

50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀMINH HỌA LẦN 1

47. ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐGIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT PHÁT TRIỂN ĐỀMINH HỌA LẦN 1

Từgiảthiết ta có:

    

   

y ̸= 0 2x −1

y > 0

y ≥0

⇔2x > 1 ⇔x > 0.

Ta có: PT ⇔log3 (2x −1) + 2x −1 = log3 y + y(∗). Xét hàm sốf(t) = log3 t + t trên (0; +∞).

Khi đó f′(t) = 1 t ln 3 + 1 > 0 do đó hàm sốf(t) = log3 t + t đồng biến trên (0; +∞).

(*) có dạng f (2x −1) = f(y) ⇔y = 2x −1. Vì 0 ≤y ≤2020 ⇔0 ≤2x −1 ≤2020 ⇔1 ≤2x ≤2021 ⇔0 ≤x ≤log2(2021). ® 0 ≤x ≤log2(2021)

x ∈Z ⇔x ∈{0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}. Vậy có 11 cặp (x; y) thỏa mãn.

Chọn phương án B

Câu 3. Có bao nhiêu giá trịnguyên của tham sốm đểtồn tại cặp số(x; y) thỏa mãn e3x+5y −ex+3y+1 = 1−2x−2y, đồng thời thỏa mãn log2 3(3x+2y −1)−(m+6) log3 x+m2 +9 = 0? A 6. B 5. C 8. D 7. Lời giải. Ta có

e3x+5y −ex+3y+1 = 1 −2x −2y ⇔e3x+5y + (3x + 5y) = ex+3y+1 + (x + 3y + 1). (1)

Xét hàm sốf(t) = et + t trên R. Ta có f(t) = et + 1 > 0 nên hàm sốđồng biến trên R. Khi đó (1) ⇔f(3x + 5y) = f(x + 3y + 1) ⇔3x + 5y = x + 3y + 1 ⇔2y = 1 −2x. Thếvào phương trình còn lại ta được log2 3 x −(m + 6) log3 x + m2 + 9 = 0. (2) Đặt t = log3 x. Sốnghiệm của phương trình (2) chính là sốnghiệm của phương trình. t2 −(m + 6)t + m2 + 9 = 0. (3) Phương trình (3) có nghiệm khi ∆≥0 ⇔−3m2 + 12m ≥0 ⇔0 ≤m ≤4. Do đó có 5 sốnguyên m thỏa mãn. Chọn phương án B

Câu 4. Có bao …