Bài tập tính thể tích của khối chóp biết góc giữa 2 mặt phẳng

50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀMINH HỌA LẦN 1

49. TÍNH THỂTÍCH KHỐI CHÓP BIẾT GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG PHÁT TRIỂN ĐỀMINH HỌA LẦN 1

DẠNG 49. TÍNH THỂTÍCH KHỐI CHÓP BIẾT GÓC GIỮA

HAI MẶT PHẲNG

1 BÀI TẬP MẪU

Ví dụ1. Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB = a, ‘ SBA = ‘ SCA = 90◦, góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) bằng 60◦. Thểtích của khối đã cho bằng

A a3. B a3

3 . C a3

2 . D a3

6 .

Lời giải. CÁCH 1: Xác định góc giữa hai mặt phẳng. Phân tích hướng dẫn giải. 1. Dạng toán: Tính thểtích khối chóp, biết góc giữa hai mặt phẳng. Phương pháp: Tìm đường cao của hình và khai thác được giảthiết góc của đềbài. 2. Hướng giải: B1: Tìm đường cao của hình: học sinh phải tìm đường cao bằng cách suy ra từcác quan hệvuông góc giữa đường với đường đểchứng mình được đường vuông góc với mặt, hay phục dựng hình ẩn đểxác định đường cao. B2: •Đểkhai thác được giảthiết góc ta thường làm: + Xác định được góc. Trong quá trình xác định góc phải tránh bẫy khi đưa vềgóc giữa hai đường thẳng cắt nhau nó là góc không tù. + Cần chọn ẩn (Là chiều cao hay cạnh đáy nếu giảthiết chưa có) sau đó sửdụng giảthiết góc để tìm ẩn. •Có thểsửdụng nhiều phương pháp khác ngoài hai cách truyền thống đểtính góc giữa hai mặt bên. Phương pháp khoảng cách: giảsửϕ là góc giữa hai mặt bên α và β

sin ϕ = d(M, (α))

d(M, d) ởđây d = (α) ∩(β), M ∈(β).

Phương pháp diện tích hai mặt bên: giảsửϕ là góc giữa hai mặt bên (ABC) và (ABD)

VABCD = 2S△ABC · S△ABD

3AB · sin ϕ ⇒sin ϕ = 3VABCD · AB 2S△ABC · S△ABD.

Công thức đa giác chiếu: cos ϕ = S′

S .

Từđó, ta có thểgiải bài toán cụthểnhư sau:

Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀMINH HỌA

49. TÍNH THỂTÍCH KHỐI CHÓP BIẾT GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG PHÁT TRIỂN ĐỀMINH HỌA LẦN 1

Hai tam giác vuông SAB và SAC bằng nhau chung cạnh huyền SA. KẻBI vuông góc với SA suy ra CI cũng vuông góc với SA và IB = IC. SA ⊥IC, SA ⊥IB ⇒SA ⊥(IBC) tại I.

VS.ABC = VA.IBC + VS.IBC = 1

3S△IBCAI + 1

3S△IBCSI

= 1

3S△IBC(AI + SI) = 1

3S△IBCSA.

((SAB), (SAC)) = (IB, IC) ⇒(IB, IC) = 60◦⇒‘ BIC = 60◦

hoặc ‘ BIC = 120◦. Ta có IC = IB < AB = a mà BC = a √

2 nên tam giác IBC không thểđều suy ra ‘ BIC = 120◦.

/ a

/

a √

2

60◦

A

B

C

S

I

Trong tam giác IBC đặt IB = IC = x(x > 0) có:

cos 120◦= IB2 + IC2 −BC2

2IB · IC ⇒−1

2 = 2x2 −(a √

2)2

2x2

⇒x = a √

6 3 ⇒IB = IC = a √

6 3 .

Trong tam giác ABI vuông tại I có: AI = √

AB2 −IB2 =

a2 − Åa √

6 3

ã2 = a √

3 3 .

Trong tam giác SAB vuông tại B đường cao BI có: AB2 = IA · SA ⇒SA = AB2

IA = a2

a √

3 3

= a √

3.

Vậy VS.ABC == 1

3S△IBCSA = 1

3 1 2IB · IC · SA sin ‘ BIC = 1

6

Åa √

6 3

ã2 a √

3 sin 120◦= a3

6 .

CÁCH 2: Xác định đường cao của hình chóp. Phân tích hướng dẫn giải. 1. Dạng toán: Đây là dạng toán tính thểtích khối chóp có lồng ghép góc giữa hai mặt phẳng. Phương pháp. Sửdụng công thức tính thểtích khối chóp V = 1

3S · h.

2. Hướng giải: B1: Gọi H là chân đường cao kẻtừS. Khi đó tứgiác ABHC là hình vuông. B2: Xác định góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) rồi từđó tính độdài đường cao SH. B3: Áp dụng công thức tính thểtích khối chóp. Từđó, ta có thểgiải bài toán cụthểnhư sau: Chọn phương án D Lời giải.