Bài tập tính đơn điệu của hàm số liên kết

Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀMINH HỌA

50. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐLIÊN KẾT PHÁT TRIỂN ĐỀMINH HỌA LẦN 1

DẠNG 50. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐLIÊN KẾT

1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Điều kiện đểhàm sốđơn điệu trên khoảng K . Định nghĩa 1. GiảsửK là một khoảng, một đoạn hoặc một nữa khoảng và y = f(x) là một hàm sốxác định trên K . Ta nói:

a) Hàm sốy = f(x) được gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu ∀x1, x2 ∈K , x1 < x2 ⇒f(x1) < f(x2).

b) Hàm sốy = f(x) được gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu ∀x1, x2 ∈K , x1 < x2 ⇒f(x1) > f(x2). Hàm sốđồng biến hoặc nghịch biến trên K gọi chung là đơn điệu trên K .

Nhận xét.

a) Nếu hàm sốf(x) và g(x) cùng đồng biến (nghịch biến) trên D thì hàm sốf(x) + g(x) cũng đồng biến (nghịch biến) trên D. Tính chất này có thểkhông đúng đối với hiệu f(x) −g(x).

b) Nếu hàm sốf(x) và g(x) là các hàm sốdương và cùng đồng biến (nghịch biến) trên D thì hàm sốf(x) · g(x) cũng đồng biến (nghịch biến) trên D. Tính chất này có thểkhông đúng khi các hàm sốf(x), g(x) không là các hàm sốdương trên D.

c) Cho hàm sốu = u(x), xác định với x ∈(a; b) và u(x) ∈(c; d). Hàm sốf[u(x)] cũng xác định với x ∈(a; b). Ta có nhận xét sau:

(a) Giảsửhàm sốu = u(x) đồng biến với x ∈(a; b). Khi đó, hàm sốf[u(x)] đồng biến với x ∈(a; b) ⇔f(u) đồng biến với u ∈(c; d).

(b) Giảsửhàm sốu = u(x) nghịch biến với x ∈(a; b). Khi đó, hàm sốf[u(x)] nghịch biến với x ∈(a; b) ⇔f(u) nghịch biến với u ∈(c; d).

Định lí 1. Giảsửhàm sốf có đạo hàm trên khoảng K . Khi đó:

a) Nếu hàm sốđồng biến trên khoảng K thì f′(x) ≥0, ∀x ∈K .

b) Nếu hàm sốnghịch biến trên khoảng K thì f′(x) ≤0, ∀x ∈K .

Định lí 2. Giảsửhàm sốf có đạo hàm trên khoảng K . Khi đó:

a) Nếu f′(x) > 0, ∀x ∈K thì hàm sốf đồng biến trên K .

b) Nếu f′(x) < 0, ∀x ∈K thì hàm sốf nghịch biến trên K .

50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀMINH HỌA LẦN 1

50. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐLIÊN KẾT PHÁT TRIỂN ĐỀMINH HỌA LẦN 1

c) Nếu f′(x) = 0, ∀x ∈K thì hàm sốf không đổi trên K .

Chú ý: Khoảng K trong định lí trên ta có thểthay thếbởi đoạn hoặc một nửa khoảng. Khi đó phải có thêm giảthiết “ Hàm sốliên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó. Chẳng hạn: Nếu hàm sốf liên tục trên đoạn [a; b] và f′(x) > 0, ∀x ∈(a; b) thì hàm sốf đồng biến trên đoạn [a; b]. Ta thường biểu diển qua bảng biến thiên như sau:

x

f′(x)

f(x)

a b

+

f(a) f(a)

f(b) f(b)

Định lí 3. (mởrộng của định lí 2). Giảsửhàm sốf có đạo hàm trên khoảng K . Khi đó:

a) Nếu f′(x) ≥0, ∀x ∈K và f′(x) = 0 chỉtại hữu hạn điểm thuộc K thì hàm sốf đồng biến trên K .

b) Nếu f′(x) ≤0, ∀x ∈K và f′(x) = 0 chỉtại hữu hạn điểm thuộc K thì hàm sốf đồng biến trên K . Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm sốGiảsửhàm sốf có đạo hàm trên K .

(a) Nếu f′(x) ≥0 với mọi x ∈K và f′(x) = 0 chỉtại một sốhữu hạn điểm x ∈K thì hàm sốf đồng biến trên K .

(b) Nếu f′(x) ≤0 với mọi x ∈K và f′(x) = 0 chỉtại một sốhữu hạn điểm x ∈K thì hàm sốf nghịch biến trên K .

2 BÀI TẬP MẪU

Ví dụ1. Cho hàm sốf(x). Hàm sốy = f′(x) có đồthịnhư hình bên. Hàm sốg(x) = f(1 −2x) + x2 −x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

y

O −2

4

−2

1

A

1; 3

2

. B

0; 1

2

. C (−2; −1). D (2; 3).

Lời giải. Phân tích hướng dẫn giải.