Bài giảng trọng tâm toán 12 ứng dụng đạo hàm để vẽ đồ thị hàm số

7

phần I: giải tích

chương 1 − ứng dụng đạo hàm

để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

A. Kiến thức cần nhớ

I. tính đơn điệu của hàm số

1. điều kiện cần để hàm số đơn điệu

Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên khoảng I thì: a. Hàm số f(x) là đồng biến trên khoảng I khi và chỉ khi với x tuỳ ý thuộc I, ta có:

f(x x) f(x) x + ∆ − ∆ > 0 , với mọi ∆x ≠ 0 và x + ∆x ∈ I.

b. Hàm số f(x) là nghịch biến trên khoảng I khi và chỉ khi với x tuỳ ý thuộc I, ta có:

f(x x) f(x) x + ∆ − ∆ < 0 , với mọi ∆x ≠ 0 và x + ∆x ∈ I.

Từ đó, ta có kết quả: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng I. a. Nếu hàm số f(x) đồng biến trên khoảng I thì f '(x) ≥ 0, ∀x ∈ I. b. Nếu hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng I thì f '(x) ≤ 0, ∀x ∈ I.

2. điều kiện đủ để hàm số đơn điệu

Định lÝ 1 (Định lÝ Lagrange): Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b] và có đạo hàm trên (a; b) thì tồn tại một điểm c ∈ (a; b) sao cho:

f(b) − f(a) = f '(c).(b − a) hay f '(c) = f(b) f(a) b a − − .

ý nghĩa của định lÝ Lagrăng: Xét cung AB của đồ thị hàm số y = f(x) với A(a; f(a)) và B(b; f(b)).

Hệ số góc của cát tuyến AB là:

f(b) f(a) b a − − .

Đẳng thức:

f '(c) = f(b) f(a) b a − −

có nghĩa là hệ số góc của tiếp tuyến của cung AB tại điểm (c; f(c)) bằng hệ số góc của cát tuyến AB. Vậy, nếu các giả thiết của định lÝ Lagrăng được thoả mãn thì tồn tại một điểm C của cung AB sao cho tiếp tuyến tại đó song song với cát tuyến AB.

8

Định lÝ 2: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng I.

a. Nếu f '(x) > 0, ∀x ∈ I thì f(x) đồng biến trên khoảng I. b. Nếu f '(x) < 0, ∀x ∈ I thì f(x) nghịch biến trên khoảng I. c. Nếu f '(x) = 0, ∀x ∈ I thì f(x) không đổi trên khoảng I.

Ta có mở rộng của định lÝ 2 như sau: Định lÝ 3: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng I.

a. Nếu f '(x) ≥ 0, ∀x ∈ I, và đẳng thức chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm trên khoảng I, thì f(x) đồng biến trên khoảng I.

b. Nếu f '(x) ≤ 0, ∀x ∈ I, và đẳng thức chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm trên khoảng I, thì f(x) nghịch biến trên khoảng I.

Ta tóm tắt định lÝ 3 trong các bảng biến thiên sau:

x − ∞ a b + ∞ y' +

y

x − ∞ a b + ∞ y' −

y

II. Cực trị của hàm số 1. khái niệm cực trị của hàm số Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập hợp D (D ⊂ ) và x0 ∈ D.

a. x0 gọi là một điểm cực đại của hàm số y = f(x) nếu tồn tại một khoảng (a; b) chứa điểm x0 sao cho (a; b) ∈ D và:

f(x) < f(x0) , với mọi x ∈ (a; b)\{x0}. Khi đó f(x0) được gọi là giá trị cực đại của hàm số f(x). b. x0 gọi là một điểm cực tiểu của hàm số y = f(x) nếu tồn tại một khoảng (a; b) chứa điểm x0 sao cho (a; b) ∈ D và:

f(x) > f(x0) , với mọi x ∈ (a; b)\{x0}. Khi đó f(x0) được gọi là giá trị cực đại của hàm số f(x). Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị.

2. điều kiện cần để hàm số có cực trị

Xét hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a, b) và x0 ∈ (a; b). Định lÝ 1: Giả sử hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x0. Khi đó, nếu f(x) có đạo hàm tại điểm x0 thì f'(x0) = 0.

9

3. điều kiện đủ để hàm số có cực trị

Định lÝ 2: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a ; b) chứa điểm x0 và có đạo hàm trên các khoảng (a; x0) và (x0; b). Khi đó:

a. Nếu f '(x) < 0 với mọi x ∈ (a; x0) và f '(x) > 0 với mọi x ∈ (x0; b) thì hàm số f(x) đạt cực tiểu tại điểm x0.

b. Nếu f '(x) > 0 với mọi x ∈ (a; x0) và f '(x) < 0 với mọi x ∈ (x0; b) thì hàm số f(x) đạt cực đại tại điểm x0. Nói một cách vắn tắt: Nếu khi x qua x0, đạo hàm đổi dấu thì điểm x0 là một điểm cực trị. Ta tóm tắt định lÝ 2 trong các bảng biến thiên sau:

x − ∞ a x0 b + ∞ y' − 0 +

y CT

x − ∞ a x0 b + ∞ y' + 0 −

y CĐ

Từ định lÝ 2 ta có quy tắc tìm cực trị sau đây:

Quy tắc 1: Để tìm cực trị của hàm số y = f(x) ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Tính f’(x). Bước 2: Tìm các điểm xi (i = 1, 2, ...) tại đó đạo hàm của hàm số

bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm. Bước 3: Xét dấu f'(x). Nếu f'(x) đổi dấu khi x qua điểm xi thì hàm

số đạt cực trị tại xi.

Định lÝ 3: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp một trên khoảng (a; b) chứa điểm x0, f '(x0) = 0 …