Bài giảng trọng tâm toán 12 nguyên hàm tích phân và ứng dụng

201

chương 3 − nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

A. Kiến thức cần nhớ

I. nguyên hàm

1. khái niệm nguyên hàm Định nghĩa

Cho hàm số f(x) liên tục trên khoảng I. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên I nếu F'(x) = f(x) với mọi x thuộc I.

Định lÝ 1: Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng I. Khi đó:

a. Với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x). b. Ngược lại, nếu G(x) là một nguyên hàm bất kì của f(x) thì tồn tại hằng số C sao cho G(x) = F(x) + C với mọi x thuộc I.

Kí hiệu f(x)dx ∫ để chỉ họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x).

Vậy ta viết:

f(x)dx ∫ = F(x) + C ⇔ F '(x) = f(x)

Định lÝ 2: Mọi hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] đều có nguyên hàm trên đoạn đó.

2. nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

1. ∫0dx = C, ∫dx = x + C.

2. ∫xαdx =

1 x

1

α+

α + + C, α ≠ −1.

3. ∫dx x = lnx + C, x ≠ 0.

4. Với k là hằng số khác 0:

a. ∫sinkx.dx = coskx C k − + .

b. ∫coskx.dx = sin kx C k + .

c. ∫ekx.dx =

kx e C k + .

d. ∫axdx =

x a lna + C, 0 < a ≠ 1.

5. a. ∫ 2 dx cos x = tanx + C.

b. ∫ 2 dx sin x = − cotx + C.

3. tính chất cơ bản của nguyên hàm

Định lÝ 3: Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) và G(x) là một nguyên hàm của hàm số g(x) thì:

a. [f(x) g(x)]dx ± ∫ = f(x)dx ∫ ± g(x)dx ∫ = F(x) ± G(x) + C.

b. Với mọi số thực a ≠ 0:

af(x)dx ∫ = a f(x)dx ∫ = a.F(x) + C.

202

4. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số

Cơ sở của phương pháp đổi biến số là định lÝ sau: Định lÝ 1: Giả sử u = u(x) là một hàm số có đạo hàm liên tục trên I sao cho hàm số hợp f[u(x)] xác định trên I. Khi đó, ta có:

∫f[u(x)].u'(x)dx = F[u(x)] + C. (1) ë đó F(u) là một nguyên hàm của f(u). Nhận xét rằng:

u = u(x) ⇒ du = u'(x)dx và f[u(x)].u'(x)dx = f(u)du do đó, công thức (1) được viết gọn dưới dạng:

f(u)du ∫ = F(u) + C.

Để tìm nguyên hàm của hàm số f(x) bằng phương pháp đổi biến ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Chọn u = u(x), trong đó u(x) là hàm số mà ta chọn cho thích hợp, rồi xác định x = ϕ(u) (nếu có thể). Bước 2: Xác định vi phân dx = ϕ’(u)du. Bước 3: Biểu thị f(x)dx theo u và du. Giả sử rằng f(x)dx = g(u)du. Bước 4: Khi đó:

∫f(x)dx = ∫g(u)du.  Lưu ý: Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu trên thông thường là:

Dấu hiệu Có thể chọn

Hàm có mẫu số u là mẫu số

Hàm f(x, (x) ϕ ) u = (x) ϕ hoặc u = (x) ϕ

Hàm f(x) = 1

(x a)(x b) + +

• Với x + a > 0 và x + b > 0, đặt: u = x a + + x b + • Với x + a < 0 và x + b < 0, đặt: u = x a −− + x b −−

Hàm f(x)= a.sinx b.cosx c.sinx d.cosx e + + +

u = tan x 2

(với cos x 2

≠ 0)

5. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần

Cơ sở của phương pháp là định lÝ sau:

Định lÝ 2: Nếu u(x), v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I thì:

∫u(x).v'(x).dx = u(x)v(x) − ∫v(x).u'(x).dx hoặc viết ∫u.dv = uv − ∫v.du. Để tìm nguyên hàm của hàm số f(x) bằng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Biến đổi:

∫f(x)dx = ∫f1(x).f2(x)dx.

203

Bước 2: Đặt:

1

2

u f (x)

dv f (x)dx

=   = 

⇒ du v   

.

Bước 3: Khi đó:

∫f(x)dx = uv − ∫vdu.  Lưu ý: Khi sử dụng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần để tìm nguyên hàm chúng ta cần tuân thủ các nguyên tắc sau: a. Lựa chọn phép đặt dv sao cho v được xác định một cách dễ dàng. b. Tích phân bất định ∫vdu được xác định một cách dễ dàng hơn so với tích phân ban đầu.

II. Tích phân

1. khái niệm tích phân

Định nghĩa

Cho hàm số f(x) liên tục trên khoảng I và a, b là hai số bất kì thuộc I. Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì hiệu số F(b) − F(a) được gọi là tích

phân của f(x) từ a đến b và kí hiệu là

b

a f(x)dx ∫ .

Ta có công thức Niutơn − Laipnit:

b

a f(x)dx ∫ = F(x) b a = F(b) − F(a).

 Chú ý: Tích phân

b

a f(x)dx ∫ chỉ phụ thuộc vào f, a, b mà không phụ thuộc vào

cách ký hiệu biến số tích phân. Vì vậy, ta có thể viết:

F(b) − F(a) =

b

a f(x)dx ∫ =

b

a f(t)dt ∫ =

b

a f(u)du ∫ = ...

Định lÝ 1: Cho hàm số y = f(x) liên tục, không âm trên khoảng I và a, b là hai số thuộc I (a < b). Diện tích S của …