Bài giảng trọng tâm toán 12 phương pháp tọa độ trong không gian

339

chương 3 − phương pháp tọa độ

trong không gian

A. Kiến thức cần nhớ

I. Hệ tọa độ trong không gian 1. Hệ tọa độ trong không gian

Định nghĩa 1

Hệ gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc được gọi là hệ trục tọa độ trong không gian.

Kí hiệu Oxyz hoặc (O, i 

, j 

, k 

) với i 

, j 

, k 

là các vectơ đơn vị lần lượt nằm trên ba trục đó.

 Điểm O được gọi là gốc tọa độ.  Trục Ox được gọi là trục hoành, trục Oy được gọi là trục tung, trục Oz được gọi là trục cao. Ta chú ý rằng:

2i 

= 2j 

=

2 k 

= 1 và i 

. j 

= j 

. k 

= k 

. i 

= 0.

2. Tọa độ của vectơ

Ta có v(x; y; z) ⇔ v = x i 

+ y j 

+ z k 

.

Nếu v(x; y; z) thì x = v. i 

, y = v. j 

, z = v. k 

.

Các tính chất: Đối với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ 1v(x1; y1; z1) và 2 v(x2; y2; z2) ta có các kết quả sau:

1). 1v = 2 v ⇔

1 2

1 2

1 2

x x

y y

z z

=   =   = 

.

2). α 1v = (αx1; αy1; αz1), với α ∈ .

3). α 1v ± β 2 v = (αx1 ± βx2; αy1 ± βy2; αz1 ± βz2), với α, β ∈ . 4). 1v. 2 v = x1x2 + y1y2 + z1z2.

5). | 1v| = 2 1v = 2 2 2 1 1 1 x y z + + .

6). cos( 1v, 2 v) = 1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2

x x y y z z

x y z . x y z

+ +

+ + + +

.

7). 1v ⊥ 2 v ⇔ 1v. 2 v = 0 ⇔ x1x2 + y1y2 + z1z2 = 0.

z

O y i 

j 

x

k

340

3. Tọa độ của điểm

Ta có M(x; y; z) ⇔ OM 

= x i 

+ y j 

+ z k 

.  Chú ý: Ta có các kết quả:

M ≡ O ⇔ x = y = z = 0.

M ∈ (Oxy) ⇔ z = 0, tức là M(x; y; 0). M ∈ (Oyz) ⇔ x = 0, tức là M(0; y; z). M ∈ (Oxz) ⇔ y = 0, tức là M(x; 0; z).

M ∈ Ox ⇔ y = 0 và z = 0, tức là M(x; 0; 0). M ∈ Oy ⇔ x = 0 và z = 0, tức là M(0; y; 0). M ∈ Oz ⇔ x = 0 và y = 0, tức là M(0; 0; z).

4. liên hệ giữa Tọa độ của vectơ và tọa độ hai điểm mút

Trong hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(xA; yA; zA) và B(xB; yB; zB) ta có: a. AB 

= (xB − xA; yB − yA; zB − zA).

b. AB = | AB 

| = 2 2 2 B A B A B A (x x ) (y y ) (z z ) − + − + − .

c. Trung điểm I của đoạn AB có tọa độ A B A B A B x x y y z z ; ; 2 2 2 + + +      

.

5. Tích có hướng (hay tích vectơ) của hai vectơ

Định nghĩa 2

Tích có hướng (hay tích vectơ) của hai vectơ 1v(x1; y1; z1) và 2 v(x2; y2; z2) kí

hiệu 1 2 v , v     

là một vectơ v được xác định bởi:

1 2 v , v     

=

1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2

y z z x x y ; ; y z z x x y

       

.

Các tính chất của tích có hướng: Ta có:

a. Vectơ 1 2 v , v     

vuông góc với hai vectơ 1v và 2 v, tức là:

1 2 v , v     

. 1v = 1 2 v , v     

. 2 v = 0.

b. 1 2 v , v     

=  1v. 2 v.sin( 1v, 2 v), trong đó α là góc giữa hai vectơ 1vvà 2 v.

c. 1 2 v , v     

= 0 

khi và chỉ khi hai vectơ 1v và 2 v cùng phương.

ứng dụng của của tích có hướng Diện tích hình bình hành: Diện tích của hình bình hành ABCD được cho bởi công thức:

S∆ABCD = AB, AD     

= AB 

.AD 

.sin( AB, AD 

),

341

Diện tích tam giác: Diện tích của ∆ABC được cho bởi công thức:

S∆ABC = 1 2 AB, AC     

= 1 2 AB 

.AC 

.sin( AB, AC 

).

Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ Định lÝ: Điều kiện cần và đủ để ba vectơ 1v, 2 v và 3 v đồng phẳng là:

1 2 v , v     . 3 v = 0.

Thể tích hình hộp: Thể tích V của hình hộp ABCD.A1B1C1D1 được cho bởi công thức:

V = 1 AB, AD .AA     

.

Thể tích tứ diện: Thể tích V của tứ diện ABCD được cho bởi công thức:

V = 1 6 AB, AC .AD     

.

6. phương trình mặt cầu Định lÝ: Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c) và bán kính R có phương trình:

(S): (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2. (1) Phương trình (1) gọi là phương trình chính tắc của mặt cầu. Vậy, ta được:

(S): T m I(a;b;c) B k nh R © án Ý   

⇔ (C): (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2.

 Chú ý: Ta có:

 Mặt cầu tâm O bán kính R có phương trình x2 + y2 + z2 = R2.  Mặt cầu đơn vị có phương trình x2 + y2 + z2 = 1. Định lÝ: Trong không gian Oxyz, mặt (S) có phương trình:

(S): x2 + y2 + z2 − …