Bài giảng trọng tâm toán 12 số phức

273

chương 4 − số phức

A. Kiến thức cần nhớ

I. Số phức

1. khái niệm số phức Định nghĩa 1

Một số phức là một biểu thức dạng a + bi trong đó a, b là các số thực và số i thỏa mãn i2 = −1. Kí hiệu số phức đó là z và viết z = a + bi. i được gọi là đơn vị ảo, a được gọi là phần thực và b được gọi là phần ảo của số phức z = a + bi. Tập hợp các số phức được kí hiệu là .  Chú ý:

1. Số phức z = a + 0i có phần ảo bằng 0 được coi là số thực và viết là:

a + 0i = a, a ∈ ⊂. 2. Số phức có phần thực bằng 0 được gọi là số ảo (còn gọi là thuần ảo):

z = 0 + bi = bi (b∈); i = 0 + 1i = 1i. 3. Số 0 = 0 + 0i = 0i vừa là số thực vừa là số ảo.

Định nghĩa 2

Hai số phức z = a + bi (a, b∈), z' = a' + b'i (a', b'∈) bằng nhau nếu và chỉ nếu:

a = a', b = b'. Khi đó, ta viết z = z'.

2. biểu diễn hình học số phức

Mỗi số phức z = a + bi (a, b∈) được biểu diễn bởi điểm M(a; b). Khi đó, ta thường viết M(a + bi) hay M(z). Gốc O biểu diễn số 0.

Mặt phẳng tọa độ với việc biểu diễn số phức được gọi là mặt phẳng phức.

 Trục Ox gọi là trục thực.  Trục Oy gọi là trục ảo.

3. phép cộng và phép trừ số phức

Định nghĩa 3

Tổng của hai số phức z1 = a1 + b1i, z2 = a2 + b2i (a1, b1, a2, b2∈) là số phức

z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2)i. Như vậy, để cộng hai số phức, ta công các phần thực với nhau, cộng các phần ảo với nhau. Tính chất của phép cộng số phức

1. Tính chất kết hợp:

(z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) với mọi z1, z2, z3 ∈ .

274

2. Tính chất giao hoán:

z1 + z2 = z2 + z1 với mọi z1, z2 ∈ . 3. Cộng với 0:

z + 0 = 0 + z = z với mọi z ∈ . 4. Với mỗi số phức z = a + bi (a, b∈), nếu kí hiệu số phức −a − bi là −z thì ta có:

z + (−z) = −z + z = 0. Số −z được gọi là số đối của số phức z. Định nghĩa 4

Hiệu của hai số phức z1 = a1 + b1i, z2 = a2 + b2i (a1, b1, a2, b2∈) là tổng của z1 với −z2, tức là:

z1 − z2 = z1 + (−z2) = (a1 − a2) + (b1 − b2)i. ý nghĩa hình học của phép cộng và phép trừ số phức

Mỗi số phức z = a + bi (a, b∈) được biểu diễn bởi điểm M(a; b) cũng có nghĩa là vectơ OM 

. Khi đó, nếu 1u 

, 2 u 

theo thứ tự biểu diễn số phức z1, z2 thì:

 1u 

+ 2 u 

biểu diễn số phức z1 + z2.

 1u 

− 2 u 

biểu diễn số phức z1 − z2.

4. phép nhân số phức Định nghĩa 5

Tích của hai số phức z1 = a1 + b1i, z2 = a2 + b2i (a1, b1, a2, b2∈) là số phức

z1.z2 = a1a2 − b1b2 + (a1b2 − a2b1)i.  Nhận xét: Từ định nghĩa, ta có:

 Với mọi số thực k, và mọi số phức a + bi (a, b∈) ta có k(a + bi) = ka + kbi.  0z = 0 với mọi số phức z. Tính chất của phép nhân số phức

1. Tính chất giao hoán:

z1z2 = z2z1 với mọi z1, z2 ∈ . 2. Tính chất kết hợp:

(z1z2)z3 = z1(z2z3) với mọi z1, z2, z3 ∈ . 3. Nhân với 1:

1.z = z.1 = z với mọi z ∈ . 4. Tính chất phân phối (của phép nhân đối với phép cộng):

z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z3 với mọi z1, z2, z3 ∈ .

5. số phức liên hợp và môdun của số phức Định nghĩa 6

Số phức liên hợp của z = a + bi (a, b∈) là a − bi và được kí hiệu bởi z . Như vậy, ta có:

z = a bi + = a − bi.

275

 Nhận xét: Từ định nghĩa ta thấy:

1. Số phức liên hợp của z lại là z, tức là z = z. Vì thế người ta còn nói z và z là hai số phức liên hợp với nhau. 2. Số phức liên hợp khi và chỉ khi các điểm biểu diễn của chúng đối xứng nhau qua trục Ox. Tính chất

1. Với mọi z1, z2 ∈  ta có:

1 2 1 2 z z z z + = + ; 1 2 1 2 z z z .z = .

2. Với mọi số phức z, số z. z luôn là một số thực, và nếu z = a + bi (a, b∈) thì:

z. z = a2 + b2. Định nghĩa 7

Môđun của số phức z = a + bi (a, b∈) là số thực không âm 2 2 a b + và được kí là |z|. Như vậy, nếu z = a + bi (a, b∈) thì:

|z| = zz = 2 2 a b + .  Nhận xét:

1. Nếu z là số thực thì môđun của z là giá trị tuyệt đối của số thực đó. 2. z = 0 khi và chỉ khi |z| = 0.

6. phép chia cho số phức khác 0

Định nghĩa 8

Số nghịch đảo của số phức z khác 0 là số z−1 = 2 1 | z | z .

Thương z' z của phép chia số phức z' cho số phức z khác 0 là tích của z' với

số phức nghịch đảo của z, tức là z' z = z'.z−1.

 Nhận xét: Như vậy, nếu z ≠ 0 thì z' z = 2 z'.z | z | .

 Chú ý: Có thể viết z' …