Bài tập khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau

50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀMINH HỌA LẦN 1

37. KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU PHÁT TRIỂN ĐỀMINH HỌA LẦN 1

DẠNG 37. KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG

THẲNG CHÉO NHAU

1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Khoảng cách giữa điểm và mặt phẳng. Khoảng cách giữa một điểm và một mặt phẳng là khoảng cách từđiểm đó tới hình chiếu vuông góc của nó lên mặt phẳng đó. d (M, (α)) = MM′ với M′ là hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng (α).

α

M

M ′

1.1. Khoảng cách từđiểm M bất kì đến mặt phẳng (α) có chứa đường cao của hình chóp (lăng trụ. . . ). Phương pháp:

Quy khoảng cách từđiểm M vềđiểm A thuộc đáy.

Tìm giao tuyến của mặt phẳng đáy với (α).

TừA dựng AH vuông góc với giao tuyến tại H. Khi đó AH = d (A; (α)).

Công thức tính tỉlệkhoảng cách: d (M, (P))

d (A, (P)) = MO

AO .

O

A

M

P

d

H K

O

A

K

P

d

H

M

1.2. Khoảng cách từhình chiếu vuông góc A của đỉnh S đến mặt phẳng bên (α). Phương pháp:

Tìm giao tuyến của (α) với mặt phẳng đáy.

TừA dựng AH vuông góc với giao tuyến tại H.

Nối SH, dựng AK vuông góc SH tại K. Khi đó AK = d (A; (α)).

Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀMINH HỌA

37. KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU PHÁT TRIỂN ĐỀMINH HỌA LẦN 1

1.3. Khoảng cách từđiểm bất kì đến mặt phẳng bên. Phương pháp: Quy khoảng cách từđiểm đó đến mặt phẳng bên vềkhoảng cách từđiểm là hình chiếu của đỉnh S đến mặt phẳng bên. 2. Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song. Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song là khoảng cách từmột điểm bất kì trên đường thẳng này tới mặt phẳng kia. 3. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từmột điểm bất kì trên mặt phẳng này tới mặt phẳng kia. 4. Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau. 4.1. Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau là độdài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó. ® △⊥a, △⊥b

△∩a = A, △∩b = B ⇒d(a, b) = AB.

a

A

b B

∆

4.2. Cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.

Cách 1: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó và mặt phẳng song song với nó, chứa đường thẳng còn lại.

d(a, b) = d (a, (α)). Với

® (α) ⊃b

a ∥(α) .

a

a′ M ′

M

b α

Cách 2: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.

d(a, b) = d ((α), (β)). Với

  

 

(α) ⊃a

(β) ⊃b

(α) ∥(β)

.

a

M ′

M

b β

α

Cách 3: Dựng và tính độdài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b.

50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀMINH HỌA LẦN 1

37. KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU PHÁT TRIỂN ĐỀMINH HỌA LẦN 1

2 BÀI TẬP MẪU

Ví dụ1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, AB = 2a, AD = DC = CB = a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 3a (minh họa như hình bên). Gọi M là trung điểm của AB. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và DM bằng

A 3a

4 . B 3a

2 . C 3 √

3a 13 . D 3 √

3a 13 .

S

A M

D C

B

Lời giải.

Phân tích hướng dẫn giải

1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. 2. HƯỚNG GIẢI: B1: Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và DM bằng khoảng cách từđường thẳng DM đến mặt phẳng (SBC). B2: Tính khoảng cách từDM đến mặt phẳng (SBC) thông qua khoảng cách từđiểm A đến (SBC). B3: Tính và kết luận.

LỜI GIẢI CHI TIẾT Từđó, ta có thểgiải bài toán cụthểnhư sau Do M là trung điểm của AB nên ta có

BM = AM = 1

2AB = a = AD = BC = CD.

Vậy tứgiác ADCM; BCDM là hình thoi. ⇒DM ∥BC ⇒DM ∥(SBC) ⇒d(DM, SB) = d (DM, (SBC)) = d (M, (SBC)).

Mặt khác AM ∩(SBC) = B ⇒d (M, (SBC))

d (A, (SBC)) = BM

BA = 1

2.

⇒d (M, (SBC)) = 1

2d (A, (SBC)). (1)

Xét △ABC, có đường trung tuyến CM = AD = 1

2AB.

⇒△ABC vuông tại C ⇒AC ⊥BC.

S

A M

D C

B

H

Trong tam giác vuông SAC, gọi H là hình chiếu của A lên SC.

Lại có

® BC ⊥AC

BC ⊥SA ⇒BC ⊥(SAC) ⇒BC ⊥AH.

Suy ra AH ⊥(SBC) ⇒AH = d (A, (SBC)). Xét tam giác vuông ABC tại C có AC = √

AB2 −BC2 = a √

3.