Bài tập tìm tham số để hàm số bậc 1 trên bậc 1 đơn điệu

Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀMINH HỌA

39. TÌM THAM SỐĐỂHÀM SỐBẬC 1 TRÊN BẬC 1 ĐƠN ĐIỆU PHÁT TRIỂN ĐỀMINH HỌA LẦN 1

DẠNG 39. TÌM THAM SỐĐỂHÀM SỐBẬC 1 TRÊN BẬC 1 ĐƠN ĐIỆU

1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Định lý vềđiều kiện đủđểhàm sốđơn điệu: Giảsửhàm sốf có đạo hàm trên khoảng K. Khi đó

a. Nếu f′(x) ≥0, ∀x ∈K và f′(x) = 0 chỉtại hữu hạn điểm thuộc K thì hàm sốf đồng biến trên K.

b. Nếu f′(x) ≤0, ∀x ∈K và f′(x) = 0 chỉtại hữu hạn điểm thuộc K thì hàm sốf nghịch biến trên K.

2. Một sốbài toán và phương pháp giải Bài toán 1. Tìm tham sốm đểhàm sốy = f(x; m) đơn điệu trên khoảng (α; β).

PHƯƠNG PHÁP

Bước 1: Ghi điều kiện đểy = f(x; m) đơn điệu trên (α; β). Chẳng hạn: • Đềyêu cầu y = f(x; m) đồng biến trên (α; β) ⇒y′ = f′(x; m) ≥0 ∀x ∈(α; β). • Đềyêu cầu y = f(x; m) nghịch biến trên (α; β) ⇒y′ = f′(x; m) ≤0 ∀x ∈(α; β). Bước 2: Độc lập m ra khỏi biến sốvà đặt vếcòn lại là g(x), có hai trường hợp thường gặp:

m ≥g(x) ∀x ∈(α; β) ⇒m ≥max (α;β) g(x)

m ≤g(x) ∀x ∈(α; β) ⇒m ≤min (α;β) g(x)

Bước 3: Khảo sát tính đơn điệu của hàm sốg(x) trên D (hoặc sửdụng Cauchy) đểtìm giá trị lớn nhất và giá trịnhỏnhất. Từđó suy ra m.

Bài toán 2. Tìm tham sốm đểhàm sốy = ax + b

cx + d đơn điệu trên khoảng (α; β).

PHƯƠNG PHÁP

Bước 1: Tìm tập xác định. Tính đạo hàm y′. Bước 2: Hàm sốđồng biến ⇒y′ > 0 (hàm sốnghịch biến ⇒y′ < 0). Giải ra tìm được m (1).

Bước 3: Vì x ̸= −d

c và có x ∈(α; β) nên −d

c /∈(α; β). Giải ra tìm được m (2).

Bước 4: Lấy giao của (1) và (2) được các giá trịm cần tìm. Bài toán 3. Đểhàm sốy = ax3 + bx2 + cx + d có độdài khoảng đồng biến (nghịch biến) (x1; x2) bằng d.

PHƯƠNG PHÁP

50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀMINH HỌA LẦN 1

39. TÌM THAM SỐĐỂHÀM SỐBẬC 1 TRÊN BẬC 1 ĐƠN ĐIỆU PHÁT TRIỂN ĐỀMINH HỌA LẦN 1

+ Tính y′.

+ Tìm điều kiện đểhàm sốcó khoảng đồng biến và ngịch biến:

® a ̸= 0

∆> 0. (1)

+ Biến đổi |x1 −x2| = d thành (x1 + x2)2 −4x1x2 = d2 (2). + Sửdụng định lý Vi-et đưa (2) thành phương trình theo m. + Giải phương trình, so với điều kiện (1) đểchọn nghiệm.

3. Một sốkiến thức liên quan khác: • Định lí vềdấu của tam thức bậc hai g(x) = ax2 + bx + c. + Nếu ∆< 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a.

+ Nếu ∆= 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a, trừx = −b

2a.

+ Nếu ∆> 0 thì g(x) có hai nghiệm x1, x2 và trong khoảng hai nghiệm thì g(x) khác dấu với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì g(x) cùng dấu với a. • So sánh các nghiệm x1, x2 của tam thức bậc hai g(x) = ax2 + bx + c với số0.

□ x1 < x2 < 0 ⇔

  

 

∆> 0

P > 0

S < 0.

□ 0 < x1 < x2 ⇔

  

 

∆> 0

P > 0

S > 0. □ x1 < 0 < x2 ⇔P < 0. Các trường hợp đặc biệt:

• Hàm sốy = ax + b cx + d (ad −bc ̸= 0) đồng biến trên từng khoảng xác định khi: ad −bc > 0.

• Hàm sốy = ax + b cx + d (ad −bc ̸= 0) nghịch biến trên từng khoảng xác định khi: ad −bc < 0.

• Hàm sốy = ax + b cx + d (ad −bc ̸= 0) đồng biến trên khoảng (α; +∞) khi:

 



ad −bc > 0 −d

c ≤α.

• Hàm sốy = ax + b cx + d (ad −bc ̸= 0) nghịch biến trên khoảng (α; +∞) khi:

 



ad −bc < 0 −d

c ≤α.

• Hàm sốy = ax + b cx + d (ad −bc ̸= 0) đồng biến trên khoảng (α; β) khi:

     

    

ad −bc > 0 



−d

c ≤α

−d

c ≥β.

• Hàm sốy = ax + b cx + d (ad −bc ̸= 0) nghịch biến trên khoảng (α; β) khi:

     

    

ad −bc < 0 



−d

c ≤α

−d

c ≥β.