Bài tập khối nón

50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀMINH HỌA LẦN 1

40. KHỐI NÓN PHÁT TRIỂN ĐỀMINH HỌA LẦN 1

DẠNG 40. KHỐI NÓN

1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ

a) Các yếu tốcơ bản của hình nón

(a) Chiều cao: h.

(b) Bán kính đường tròn đáy: r.

(c) Độdài đường sinh: l.

(d) Góc ởđỉnh: 2α (0◦< α < 90◦).

h

r

l

I

A

B C

α

b) Mối liên hệgiữa chiều cao, đường sinh và bán kính đáy của hình nón: l2 = h2 + R2.

c) Hình nón tròn xoay tạo thành khi quay tam giác: Cho ∆AIB vuông tại I quay quanh cạnh góc vuông AI thì đường gấp khúc ABI tạo thành một hình, gọi là hình nón tròn xoay (gọi tắt là hình nón).

(a) Đường thẳng AI gọi là trục, A là đỉnh, AI gọi là đường cao và AB gọi là đường sinh của hình nón.

(b) Hình tròn tâm I, bán kính r = IB là đáy của hình nón.

d) Công thức diện tích của hình nón và thểtích của khối nón: Cho hình nón có chiều cao là h, bán kính đáy r và đường sinh là l thì ta có

(a) Diện tích xung quanh: Sxq = πrl

(b) Diện tích đáy (hình tròn): Sđ = πr2;

(c) Diện tích toàn phần hình nón: Stp = Sxq + Sđ;

(d) Thểtích khối nón: Vnón = 1

3Sdh = 1

3πr2l.

e) Thiết diện của hình nón (N) khi cắt bởi mặt phẳng (P)

⋄TH1. (P) đi qua đỉnh của hình nón (N):

i. Nếu (P) tiếp xúc với mặt nón (N) theo một đường sinh thì ta gọi (P) là mặt phẳng tiếp diện của mặt nón.

ii. Nếu (P) cắt hình nón (N) theo 2 đường sinh thì thiết diện là tam giác cân.

iii. Đặc biệt, nếu (P) đi qua trục của mặt nón (N) thì thiết diện là tam giác cân có cạnh bên l và cạnh đáy 2r.

⋄TH2. (P) không đi qua đỉnh của hình nón (N):

i. Nếu (P) vuông góc với trục hình nón thì giao tuyến là một đường tròn.

Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀMINH HỌA

40. KHỐI NÓN PHÁT TRIỂN ĐỀMINH HỌA LẦN 1

ii. Nếu (P) song song với 2 đường sinh hình nón thì giao tuyến là 2 nhánh của một hypebol. iii. Nếu (P) song song với một đường sinh hình nón thì giao tuyến là một đường parabol.

f) Công thức tính độdài cung tròn có sốđo a◦, bán kính R là l = πRa

180 .

g) Tính chất ∆ABC đều cạnh a:

(a) Độdài đường cao, đường trung tuyến: a √

3 2 .

(b) Diện tích tam giác: S = a2√

3 4 .

2 BÀI TẬP MẪU

Ví dụ1. Cho hình nón có chiều cao bằng 2 √

5. Một mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón và cắt hình nón theo một thiết diện là tam giác đều có diện tích bằng 9 √

3. Thểtích khối nón giới hạn bởi hình nón đã cho bằng

A 32 √

5π 3 . B 32π. C 32 √

5π. D 96π.

Lời giải.

Phân tích hướng dẫn giải

a) DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tính thểtích của khối nón tròn xoay.

b) HƯỚNG GIẢI:

B1: Tìm bán kính hình tròn đáy

B2: Áp dụng công thức tính thểtích.

ccc LỜI GIẢI CHI TIẾT ccc

Mặt phẳng qua đỉnh hình nón và cắt hình nón theo thiết diện là tam giác đều SAB.

Ta có: S∆SAB = AB2√

3 4 = 9 √

3 ⇔AB2 = 36 ⇒SA2 = 36.

Ta có: R = OA = √

SA2 −SO2 = √36 −20 = 4.

Thểtích của khối nón là: V = 1

3πR2h = 1

3π422 √

5 = 32 √

5π 3 .

O A

B

S

Chọn phương án A

50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀMINH HỌA LẦN 1

40. KHỐI NÓN PHÁT TRIỂN ĐỀMINH HỌA LẦN 1

3 BÀI TẬP TƯƠNG TỰVÀ PHÁT TRIỂN

Câu 1. Hình nón có chiều cao 3 √

3 cm, góc giữa một đường sinh và mặt đáy bằng 60◦. Tính diện tích toàn phần Stp của hình nón đó.

A Stp = 18π cm2. B Stp = 81π cm2. C Stp = 27π cm2. D Stp = 9 √

3 cm2. Lời giải.

Tam giác SAO vuông tại O có r = h cot 60◦= 3 √

3 √

3 = 3 cm.

Độdài đường sinh l = √

h2 + r2 = p

(3 √

3)2 + 32 = 6 cm. Khi đó diện tích xung quanh hình nón Sxq = πrl = π · 3 · 6 = 18π cm2. Diện tích đáy: Sđ = πr2 = π.32 = 9π cm2. Diện tích toàn phần: Stp = Sđ + Sxq = 9π + 18π = 27π cm2.

O A

S

60◦

l

r

h

Chọn phương án C

Câu 2. Cho hình nón có góc ởđỉnh bằng 60◦, diện tích xung quanh bằng 18a2π. Thểtích V của khối nón đã cho bằng

A 9πa3√

3. B 3πa3√

3. C 9πa3. D 3πa3. Lời giải. Hình nón có góc ởđỉnh bằng 60◦nên ‘ ASB = 60◦⇒‘ ASO = 30◦.

∆SAO vuông tại O nên SA = AO sin 30◦= 2AO.

Khi đó, diện tích xung quanh của hình nón là

Sxq = π · AO · SA = π · AO · 2AO = 2π · AO2.

Theo bài ra Sxq = 18a2π ⇔2π · AO2

√

3 = 18a2π ⇔AO2 = 9a2 ⇔AO = 3a.

∆SAO vuông tại O ⇒SO = AO tan 30◦= 3a √

3.

Vây thểtích khối nón: V = 1

3π · OA2 · SO = 1

3π · (3a)2 · 3a …