Bài tập Logarit

Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀMINH HỌA

41. LÔGARIT PHÁT TRIỂN ĐỀMINH HỌA LẦN 1

DẠNG 41. LÔGARIT

1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ

a) Định nghĩa logarit: Cho hai sốthực dương a, b với a ̸= 1, α = loga b ⇔aα = b.

b) Các tính chất logarit: Cho ba sốthực dương a, b, c với 0 < a, b, c ̸= 1.

loga b + loga c = loga bc; loga b −loga c = loga b

loga c.

loga b = logc b

loga a; loga b · logb c = loga cã

c) Phương trình mũ cơ bản nhất ax = b ⇔x = loga b (0 < a ̸= 1; b > 0) .

d) Cách giải phương trình mũ có dạng α1a2x + α2(ab)x + α3b2x = 0 trong đó αi(i = 1, 2, 3) là hệsố, cơ số0 < a, b ̸= 1.

B1: Biến đổi phương trình vềdạng: 2α1 a

b

2x + α2 a

b

x + α3 = 0 (∗).

B2: Đặt ẩn phụ a

b

x = t, t > 0, phương trình (∗) trởthành α1t2 + α2t + α3 = 0.

B3: Giải tìm t thỏa mãn t > 0. B4: Giải phương trình mũ cơ bản a

b

x = t. Tìm được x.

2 BÀI TẬP MẪU

Ví dụ1. Cho x, y là hai sốthực dương thỏa mãn log9 x = log6 y = log4(2x + y). Giá trịcủa x

y bằng

A 2. B 1

2. C log2 3 2. D log 3

2 2.

Lời giải.

Phân tích hướng dẫn giải

1. PHÂN TÍCH ĐỀ: Đây là dạng tính toán liên quan đến logarit dùng định nghĩa, đẳng thức. Tìm 2 ẩn khi cho 2 phương trình. 2. XÂY DỰNG CHƯƠNG TRÌNH GIẢI. B1: Đặt m = log9 x = log6 y = log4(2x + y), biểu thịx, y, 2x + y theo m. B2: Lập phương trình ẩn m. Giải phương trình tìm m. B3: Lập tỉsốx

y. Từđó suy ra giá trịcủa x

y.

LỜI GIẢI CHI TIẾT

50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀMINH HỌA LẦN 1

41. LÔGARIT PHÁT TRIỂN ĐỀMINH HỌA LẦN 1

log9 x = log6 y = log4(2x + y) = m ⇒

  

 

x = 9m

y = 6m

2x + y = 4m ⇒2 · 9m + 6m = 4m ⇔2 · 3

2

2m + 3

2

m −1 =

0 ⇒ 3

2

m = 1

2.

Ta có: x

y = 9m

6m = 3

2

m ⇒x

y = 1

2.

Chọn phương án B

3 BÀI TẬP TƯƠNG TỰVÀ PHÁT TRIỂN

Câu 1. Cho a, b > 0 thỏa mãn log4 a = log6 b = log9(a + b). Giá trịcủa a

b bằng

A 1

2. B −1 + √

5 2 . C −1 − √

5 2 . D 1 + √

5 2 .

Lời giải.

log4 a = log6 b = log9(a + b) = m ⇒

  

 

a = 4m

b = 6m

a + b = 9m ⇒4m + 6m = 9m ⇔ 2

3

2m + 2

3

m −1 = 0 ⇒

2

3

m = −1 + √

5 2 ⇔ 4

6

m = −1 + √

5 2 ⇔a

b = −1 + √

5 2 .

Chọn phương án B

Câu 2. Cho a, b > 0 thỏa mãn log16 a = log20 b = log25 2a −b

3 Tính tỉsốT = a

b A T = 5

4. B T = 2

3. C T = 3

2. D T = 4

5.

Lời giải.

log16 a = log20 b = log25 2a −b

3 = m ⇒

   

  

a = 16m

b = 20m

2a −b

3 = 25m ⇒2ã16m−20m = 3ã25m ⇔2 4

5

2m − 4

5

m −3 =

0 ⇒ 4

5

m = 3

2 ⇔ 16

20

m = 3

2 ⇔T = a

b = 3

2.

Chọn phương án C

Câu 3. Cho x, y > 0 thỏa mãn log√

10 x = log√

15 y = log5(x + y). Tính tỉsốy

x A y

x = 3

2. B y

x = 1

3. C y

x = 1

2. D y

x = 2

3.

Lời giải.

log√

10 x = log√

15 y = log5(x + y) = m ⇒

  

 

x = ( √

10)m

y = ( √

15)m

x + y = 5m ⇒( √

10)m + ( √

15)m = 5m ⇔ 2

5

m

2 + 3

5

m

2 =

1(1).

Xét hàm sốf(t) = 2

5

t + 3

5

t ⇒f(t) = 2

5

t ln 2

5 + 3

5

t ln 3

5 < 0, ∀t ⇒f(t) đồng biến trên R.

Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀMINH HỌA

41. LÔGARIT PHÁT TRIỂN ĐỀMINH HỌA LẦN 1

Nên phương trình f(t) = 0 có duy nhất 1 nghiệm. Từ(1) ta có f(m) = f(2) nên m = 2 là một nghiệm của (1) nên (1) có nghiệm duy nhất m = 2.

Do đó y

x = Å√

15 √

10

ã2 = 3

2.

Chọn phương án A

Câu 4. Cho a, b là các sốdương thỏa mãn log4 a = log25 b = log 4b −a

2 . Tính giá trịa

b?

A a

b = 6 −2 √

5. B a

b = 3 + √

5 8 . C a

b = 6 + 2 √

5. D a

b = 3 − √

5 8 .

Lời giải.

Đặt log4 a = log25 b = log 4b −a

2 = t, ta có:    

  

a = 4t

b = 25t

4b −a

2 = 10t ⇒4 · 25t −4t = 2 · 10t ⇔4 − 4

25

t = 2 · 10

25

t

⇔ 2

5

2t + 2 · 2

5

t −4 = 0.

Đặt 2

5

t = y > 0, ta có y2 + 2y −4 = 0 ⇔

ñ y = −1 − √

5

y = −1 + √

5 ⇒y = −1 + √

5.

Từđó 2

5

t = −1 + √

5 ⇔4t

25t = ( √

5 −1)2 ⇒a

b = 6 −2 √

5.

Chọn phương án A

Câu 5. Cho hai sốthực dương a, b thỏa mãn loga 20 = logb 8 = log125(5a + 12b). Tính P = a + b

b .

A P = 3. B P = 4. C P = 2. D P = 8. Lời giải. Đặt loga 20 = logb 8 = log125(5a + 12b) = x.

Có

  

 

a = 20x

b = 8x

5a + 12b = 125x ⇒

 



a

b = 5

2

x (1)

5 · 20x + 12 · 8x = 125x (2).

(2) ⇔5 · 5

2

x + 12 = 5

2

3x ⇔ 5

2

3x −5 · …