Bài tập phương trình logarit có chứa tham số

Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀMINH HỌA

43. PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT CÓ CHỨA THAM SỐ PHÁT TRIỂN ĐỀMINH HỌA LẦN 1

DẠNG 43. PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT CÓ CHỨA THAM

SỐ

1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ

PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT. Thường sửdụng các phương pháp sau: 1. Phương pháp đưa vềcùng cơ số. 2. Phương pháp đặt ẩn phụ. 3. Phương pháp hàm số. loga(b · c) = loga b + loga c với b, c > 0; 0 < a ̸= 1.

logaα xβ = β

α loga |x| với α ̸= 0; 0 < a ̸= 1.

Nếu a > 1 thì với ∀x1, x2 > 0: x1 < x2 ⇒loga x1 < loga x2. Nếu 0 < a < 1 thì với ∀x1, x2 > 0: x1 < x2 ⇒loga x1 > loga x2.

loga f(x) = loga g(x) ⇔

® f(x) > 0

f(x) = g(x) (0 < a ̸= 1).

loga f(x) = b ⇔f(x) = ab(0 < a ̸= 1).

Phương trình bậc hai có hai nghiệm âm phân biệt ⇔

  

 

∆> 0

S < 0

P > 0.

Phương trình bậc hai có hai nghiệm dương ⇔

  

 

∆≥0

S > 0

P > 0. Phương trình bậc hai có hai nghiệm trái dấu ⇔P < 0.

2 BÀI TẬP MẪU

Ví dụ1. Cho phương trình log2 2(2x) −(m + 2) log2 x + m −2 = 0 (m là tham sốthực). Tập hợp tất cảcác giá trịcủa m đểphương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn [1; 2] là

A (1; 2). B [1; 2]. C [1; 2). D [2; +∞).

Lời giải.

50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀMINH HỌA LẦN 1

43. PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT CÓ CHỨA THAM SỐ PHÁT TRIỂN ĐỀMINH HỌA LẦN 1

Phân tích hướng dẫn giải

1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng tìm điều kiện của tham sốđểphương trình logarit có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước. 2. HƯỚNG GIẢI: B1: Viết lại phương trình logarit vềdạng phương trình bậc hai đối với 1 biểu thức logarit. B2: Đặt ẩn phụlà biểu thức logarit và tìm điều kiện cho ẩn phụ. B2: Tìm điều kiện cho phương trình ẩn phụ.

LỜI GIẢI CHI TIẾT Điều kiện: x > 0. Ta có: log2 2(2x) −(m + 2) log2 x + m −2 = 0 ⇔(1 + log2 x)2 −(m + 2) log2 x + m −2 = 0(1). Đặt t = log2 x, với x ∈[1; 2] thì t ∈[0; 1], khi đó ta có phương trình:

(1 + t)2 −(m + 2)t + m −2 = 0 ⇔t2 −mt + m −1 = 0 ⇔

ñ t = 1

t = m −1 (2).

Nhận thấy với mỗi sốthực t ∈[0; 1] cho ta một sốthực x ∈[1; 2], do đó yêu cầu bài toán ⇔(2) có

2 nghiệm phân biệt thuộc [0; 1] ⇔

® m −1 ̸= 1

m −1 ∈[0; 1] ⇔

® m ̸= 2

0 ≤m −1 ≤1 ⇔1 ≤m < 2.

Vậy 1 ≤m < 2. Chú ý: Đối với phương trình bậc hai chứa tham số, nếu ∆có dạng chính phương thì nên tìm cụ thểhai nghiệm của phương trình. Chọn phương án C

3 BÀI TẬP TƯƠNG TỰVÀ PHÁT TRIỂN

Câu 1. Cho phương trình log2 3 x + 3m log3(3x) + 2m2 −2m −1 = 0 (m là tham sốthực). Gọi S là tập hợp tất cảcác sốthực m mà phương trình có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn [1; 3]. Sốphần tửcủa tập S là

A 2. B 0. C 1. D 3. Lời giải. Điều kiện: x > 0 Phương trình: log2 3 x + 3m log3(3x) + 2m2 −2m −1 = 0 ⇔log2 3 x + 3m log3(3x) + 2m2 + m −1 = 0. Đặt t = log3 x, vớivới x ∈[1; 3] thì t ∈[0; 1], khi đó ta có phương trình t2 + 3mt + 2m2 + m −1 = 0 ⇔ ñ t = −m −1

t = −2m + 1. Khi đó yêu cầu bài toán ⇔phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn [0; 1]

⇔

  

 

0 ≤−m −1 ≤1

0 ≤−2m + 1 ≤1

−m −1 ̸= −2m + 1

⇔

    

   

−2 ≤m ≤−1

0 ≤m ≤1

2 m ̸= 2

(Hệvô nghiệm).

Vậy không có giá trịnào của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀMINH HỌA

43. PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT CÓ CHỨA THAM SỐ PHÁT TRIỂN ĐỀMINH HỌA LẦN 1

Chọn phương án B

Câu 2. Cho phương trình log2 3(9x) −(m + 5) log3 x + 3m −10 = 0 (với m là tham sốthực). Sốgiá trịnguyên của tham sốm đểphương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thuộc [1; 81] là

A 2. B 3. C 4. D 5. Lời giải. Ta có: log2 3(9x) −(m + 5) log3 x + 3m −10 = 0. Đặt t = log3 x vì x ∈[1; 81] ⇒t ∈[0; 4].

Khi đó phương trình đã cho trởthành: t2 −(m + 1)t + 3m −6 = 0 ⇔

ñ t = 3

t = m −2.

ycbt ⇔

® 0 ≤m −2 ≤4

m −2 ̸= 3 ⇔

® 2 ≤m ≤6

m ̸= 5 . Vậy có 4 sốnguyên m thoảycbt.

Chọn phương án C

Câu 3. Cho phương trình 4 log2 3 √x+(m−3) log3 x+2−m = 0 (với mlà tham sốthực). Có bao nhiêu giá trịnguyên của m đểphương trình đã cho có hai nghiệm thực phân biệt thuộc đoạn [1;9]?

A 0. B 2. C 1. D 3. Lời giải. Ta có 4 log2 3 √x + (m −3) log3 x + 2 −m = 0 ⇔4 1

2 log3 x 2 + (m −3) log3 x + 2 −m = 0

⇔log2 3 x + (m −3) log3 x + 2 −m = 0 ⇔

ñ log3 x = 1

log3 x = 2 −m ⇔

ñ x = 3

log3 x = 2 −m. …