Bài tập nguyên hàm từng phần

Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀMINH HỌA

44. NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN PHÁT TRIỂN ĐỀMINH HỌA LẦN 1

DẠNG 44. NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN

1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Hàm sốF(x) là một nguyên hàm của hàm sốf(x) nếu F ′(x) = f(x).

a) Công thức nguyên hàm từng phần

® u = f(x)

dv = g(x) dx ⇒

 



du = f′(x) dx

v = Z g(x) dx = G(x)(C = 0).

Khi đó ta có Z u · dv = u · v − Z v · du hay Z f(x)g(x) dx = f(x)G(x) − Z G(x)f′(x) dx.

b) Công thức tích phân từng phần

® u = f(x)

dv = g(x) dx ⇒

 



du = f′(x) dx

v = Z g(x) dx = G(x)(C = 0).

Khi đó ta có

b Z

a

u · dv = (u · v)

b

a −

b Z

a

v · du hay

b Z

a

f(x)g(x) dx = [f(x)G(x)]

b

a −

b Z

a

G(x)f′(x) dx.

c) Công thức đạo hàm của hàm sốsơ cấp và hàm hợp

• (xα)′ = αxα−1.

• (un)′ = nun−1u′.

• (uv)′ = u′v + uv′.

• (sin u)′ = u′ cos u.

• (cos u)′ = −u′ sin u.

• (ex)′ = ex.

• (eu)′ = euu′.

• (ln x)′ = 1 x.

d) Nguyên hàm các hàm sốthường gặp

• Z u(x)ãv′(x) dx = u(x)ãv(x)− Z v(x)ãu′(x) dx.

• Z xα dx = xα+1

α + 1 + C, với α ̸= −1.

• Z 1

x dx = ln |x| + C.

• Z ex dx = ex + C.

• Z sin x dx = −cos x + C.

• Z cos x dx = sin x + C.

50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀMINH HỌA LẦN 1

44. NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN PHÁT TRIỂN ĐỀMINH HỌA LẦN 1

2 BÀI TẬP MẪU

Ví dụ1. Cho hàm sốf(x) liên tục trên R. Biết cos 2x là một nguyên hàm của hàm sốf(x)·ex, họtất cảcác nguyên hàm của hàm sốf(x) · ex là

A −sin 2x + cos 2x + C. B −2 sin 2x + cos 2x + C. C −2 sin 2x −cos 2x + C. D 2 sin 2x −cos 2x + C.

Lời giải.

Phân tích hướng dẫn giải

a) DẠNG TOÁN: Đây là dạng sửdụng phương pháp nguyên hàm từng phần.

b) HƯỚNG GIẢI:

Bước 1: Dựa trên giảthuyết cos 2x là một nguyên hàm của hàm sốf(x) · ex ta tìm được hàm sốf(x) · ex.

Bước 2: Áp dụng công thức nguyên hàm từng phân ta tính được I = Z f′(x)·ex dx

bằng cách đặt ® u = ex

dv = f′(x) dx ⇒

® du = ex dx

v = f(x).

LỜI GIẢI CHI TIẾT Ta có cos 2x là một nguyên hàm của hàm sốf(x) · ex suy ra f(x) · ex = (cos 2x)′ = −2 sin 2x.

Xét I = Z f(x) · ex dx.

Đặt ® u = ex

dv = f′(x) dx ⇒

® du = ex dx

v = f(x).

Khi đó ta có I = Z f′(x) · ex dx = f(x) · ex − Z f(x) · ex dx = −2 sin 2x −cos 2x + C.

Chọn phương án C

3 BÀI TẬP TƯƠNG TỰVÀ PHÁT TRIỂN

Câu 1. Cho hàm sốf(x) liên tục trên R. Biết sin 3x là một nguyên hàm của hàm sốf(x) · ex, họ tất cảcác nguyên hàm của hàm sốf′(x) · ex là

A 3 cos 3x −sin 3x + C. B −3 cos 3x −cos 3x + C. C 3 sin 3x −cos 3x + C. D 3 cos 3x −cos 3x + C. Lời giải.

Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀMINH HỌA

44. NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN PHÁT TRIỂN ĐỀMINH HỌA LẦN 1

Ta có sin 3x là một nguyên hàm của hàm sốf(x) · ex suy ra f(x) · ex = (sin 3x)′ = 3 cos 3x.

Xét I = Z f(x) · ex dx.

Đặt

® u = ex

dv = f′(x) dx ⇒

® du = ex dx

v = f(x).

Khi đó ta có I = Z f′(x) · ex dx = f(x) · ex − Z f(x) · ex dx = 3 cos 3x −sin 3x + C.

Chọn phương án A

Câu 2. Cho hàm sốf(x) liên tục trên (0; +∞). Biết ln x là một nguyên hàm của hàm sốf(x)

ex , họ

tất cảcác nguyên hàm của hàm sốf′(x) · x2 là

A x · ex + C. B x · ex −2ex + C. C −x · ex + 2ex + C. D x · ex + 2ex + C. Lời giải.

Ta có ln x là một nguyên hàm của hàm sốf(x)

ex suy ra f(x)

ex = (ln x)′ = 1

x ⇒f(x) = ex

x .

Suy ra f(x) = exx −ex

x2 .

Xét I = Z f′(x) · x2 dx = Z exx −ex

x2 · x2 · dx = Z (exx −ex) · dx = Z exx dx − Z ex dx.

Đặt

® u = x

dv = ex dx ⇒

® du = dx

v = ex , suy ra

Z exx dx − Z ex dx = Å x · ex − Z ex dx ã − Z ex dx = x · ex −2ex + C.

Chọn phương án B

Câu 3. Cho hàm sốf(x) liên tục trên R. Biết x2 −3x + 1 là một nguyên hàm của hàm sốf(x)

x ,

họtất cảcác nguyên hàm của hàm sốf′(x) · e2x là

A 4x −11e2x

2 + C. B 2x −2e2x + C. C 4x −5ex

2 + C. D 4x −5e2x

2 + C.

Lời giải.

Ta có x2 −3x + 1 là một nguyên hàm của hàm sốf(x)

x suy ra f(x)

x = x2 −3x + 1 ′ = 2x −3. Suy ra f(x) = 2x2 −3x suy ra f(x) = 4x −3.

Xét I = Z (4x −3) · e2x dx.

Đặt

® u = 4x −3

dv = e2x dx ⇒

 



du = 4 dx

v = 1

2e2x.

Khi đó ta có

I = Z (4x −3) · e2x dx = (4x −3) · e2x

2 −2 Z e2x dx = (4x −3) · e2x

2 −e2x + C = 4x −5e2x

2 + C.

Chọn phương án D