Bài tập liên quan đến giao điểm của hai đồ thị

Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀMINH HỌA

45. LIÊN QUAN ĐẾN GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒTHỊ. PHÁT TRIỂN ĐỀMINH HỌA LẦN 1

DẠNG 45. LIÊN QUAN ĐẾN GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ.

1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ

f(x) = m là phương trình hoành độgiao điểm của hai đồthịy = f(x), y = m. Sốnghiệm của phương trình bằng sốgiao điểm của hai đồthịy = f(x), y = m.

f(x) = g(x) là phương trình hoành độgiao điểm của hai đồthịy = f(x), y = g(x). Sốnghiệm của phương trình bằng sốgiao điểm của hai đồthịy = f(x), y = g(x).

Bảng đạo hàm các hàm sốcơ bản

Hàm x Hàm hợp 1. c = 0 2. x = 1 3. (xn) = n · xn−1 (n ∈N; n > 1) 4. (un) = n · un−1 · u (n ∈N; n > 1)

5. (√x) = 1 2√x, ∀x > 0 6. (√u) = u 2√u, ∀u > 0

7. 1

x

= −1

x2, ∀x ̸= 0 8. 1

u

= −u

u2, ∀u ̸= 0

9. (k · x) = k 10. (k · u) = k · u 11. (cos x) = −sin x 12. (cos u) = −u sin u 13. (sin x) = cos x 14. (sin u) = u · cos u

15. (tan x) = 1 cos2 x 16. (tan u) = u cos2 u 17. (cot x) = − 1 sin2 x 18. (cot u) = − u sin2 u

Đạo hàm của hàm hợp: y = f (u(x)) ⇒y′ = u′(x) · f′ (u(x)).

2 BÀI TẬP MẪU

Ví dụ1. Cho hàm sốf(x) có bảng biến thiên như sau

x −∞ −1 0 1 +∞ f′(x) − 0 + 0 − 0 +

y

+∞

−2

−1

−2

+∞

Sốnghiệm thuộc đoạn [−π; 2π] của phương trình 2f(sin x) + 3 = 0 là

A 4. B 6. C 3. D 8.

Lời giải.

50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀMINH HỌA LẦN 1

45. LIÊN QUAN ĐẾN GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒTHỊ. PHÁT TRIỂN ĐỀMINH HỌA LẦN 1

Phân tích hướng dẫn giải

a) DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán liên quan đến giao điểm của hai đồthị.

b) HƯỚNG GIẢI:

Bước 1: Từphương trình 2f(sin x) + 3 = 0 chuyển vềphương trình hoành độgiao điểm của hai đồthịy = f(u), y = C.

Bước 2: Dựa vào đồthịy = f(x) ⇒giá trịcủa u = sin x ⇒giá trịcủa x.

Bước 3: Chọn đáp án.

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Ta có 2f(sin x) + 3 = 0 ⇔f(sin x) = −3

2 ⇔





sin x = a1 ∈(−∞; −1) (1)

sin x = a2 ∈(−1; 0) (2)

sin x = a3 ∈(0; 1) (3)

sin x = a4 ∈(1; +∞) (4) Các phương trình (1) và (4) đều vô nghiệm. Xét đồthịhàm sốy = sin x trên [−π; 2π]

x

y

O π π π

1

−1

Ta thấy phương trình (2) có 4 nghiệm phân biệt và phương trình (3) có 2 nghiệm phân biệt đồng thời trong sốchúng không có 2 nghiệm nào trùng nhau. Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt thuộc đoạn [−π; 2π]. Trình bày theo hướng khác:

Phân tích hướng dẫn giải

a) DẠNG TOÁN: Đây là dạng dùng bảng biến thiên của hàm sốf(x) đểtìm sốnghiệm thuộc đoạn [a; b] của PT c.f (g(x)) + d = m.

b) HƯỚNG GIẢI:

Bước 1: Đặt ẩn phụt = g(x). Với x ∈[a; b] ⇒t ∈[a; b].

Bước 2: Với c.f (g(x)) + d = m ⇒f(t) = k.

Bước 3: Sửdụng BBT của hàm sốy = f(t) đểgiải bài toán sốnghiệm thuộc đoạn [a; b] của PT f(t) = k.

Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀMINH HỌA

45. LIÊN QUAN ĐẾN GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒTHỊ. PHÁT TRIỂN ĐỀMINH HỌA LẦN 1

Từđó, ta có thểgiải bài toán cụthểnhư sau: Đặt t = sin x, t ∈[−1; 1] thì phương trình 2f(sin x) + 3 = 0 (1) trởthành

2f(t) + 3 = 0 ⇔f(t) = −3

2. (2)

Bảng biến thiên của hàm sốy = f(t), t ∈[−1; 1]:

x −∞ −1 0 1 +∞ f′(x) − 0 + 0 − 0 +

y

+∞

0

−1

−2

+∞

y = −3

2

Dựa vào bảng biến thiên, sốnghiệm t ∈[−1; 1] của phương trình (1) là 2 nghiệm phân biệt t1 ∈(−1; 0), t2 ∈(0; 1). Bảng biến thiên hàm sốf(x) = sin x, x ∈[−π; 2π]

x −∞ −π

2 0 π

2 π 3π

2 2π

y 0

−1

0

1

0

−1

0

+ Với t1 ∈(−1; 0) ⇒sin x = t1 ∈(−1; 0) ⇒phương trình có 4 nghiệm x ∈[−π; 2π]. + Với t2 ∈(0; 1) ⇒sin x = t2 ∈(0; 1) ⇒phương trình có 2 nghiệm x ∈[−π; 2π]. Vậy sốnghiệm thuộc đoạn [−π; 2π] của phương trình 2f(sin x) + 3 = 0 là 2 + 4 = 6. Chọn phương án B

3 BÀI TẬP TƯƠNG TỰVÀ PHÁT TRIỂN

Câu 1. Cho hàm sốf(x) có bảng biến thiên như sau

x −∞ −1 0 1 +∞ f′(x) − 0 + 0 − 0 +

y

+∞

−2

−1

−2

+∞

Sốnghiệm thuộc đoạn [−π; 3π] của phương trình 2f(cos x) + 3 = 0 là

A 6. B 8. C 3. D 10. Lời giải. Ta có

2f(cos x) + 3 = 0 ⇔f(cos x) = −3

2 ⇔





cos x = a1 ∈(−∞; −1) (1)

cos x = a2 ∈(−1; 0) (2)

cos x = a3 ∈(0; 1) (3)

cos x = a4 ∈(1; +∞) (4)