Bài tập thực tế sử dụng hàm mũ và logarit

50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀMINH HỌA LẦN 1

25. TOÁN THỰC TẾSỬDỤNG HÀM MŨ VÀ LÔGARIT PHÁT TRIỂN ĐỀMINH HỌA LẦN 1

DẠNG 25. TOÁN THỰC TẾSỬDỤNG HÀM MŨ VÀ LÔGARIT

1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1) Lãi đơn: Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi đơn r/kì hạn thì sốtiền khách hàng nhận được cảvốn lẫn lãi sau n kì hạn (n ∈N∗) là Sn = A + nAr = A(1 + nr).

2) Lãi kép: Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi kép r/kì hạn thì sốtiền khách hàng nhận được cảvốn lẫn lãi sau n kì hạn (n ∈N∗) là Sn = A(1 + r)n. Từđó ta có thểtìm các giá

trị: r = n …

Sn

A −1, A = Sn (1 + r)n, n = log(1+r)

ÅSn

A

ã .

3) Bài toán tăng trưởng dân số: Công thức tính tăng trưởng dân số

Xm = Xn(1 + r)m−n, m, n ∈Z+, m ≥n

trong đó: r là tỉlệtăng dân sốtừnăm n đến năm m. Xm là dân sốnăm m. Xn là dân sốnăm n.

Từđó ta có công thức tính tỉlệtăng dân sốlà r = m−n …

Xm

Xn −1.

4) Vay vốn trảgóp: Vay ngân hàng sốtiền là A đồng với lãi suất r/tháng. Sau đúng một tháng kể từngày vay, bắt đầu hoàn nợ, hai lần hoàn nợcách nhau đúng một tháng, mỗi lần hoàn nợsố

tiền là X đồng. Ta có công thức tính sốtiền còn lại sau n tháng: Sn = A(1+r)n −X (1 + r)n −1

r .

5) Tiền gửi hàng tháng: Đầu mỗi tháng khách hàng gửi vào ngân hàng sốtiền A đồng với lãi kép r/tháng thì sốtiền khách hàng nhận được cảvốn lẫn lãi sau n tháng (n ∈N∗) (nhận

tiền cuối tháng, khi ngân hàng đã tính lãi) là Sn là Sn = A

r [(1 + r)n −1] (1 + r) Từđó ta có

n = log(1+r)

Å Sn · r

A(1 + r) + 1 ã , A = Sn · r (1 + r) [(1 + r)n −1].

2 BÀI TẬP MẪU

Ví dụ1. Đểdựbáo dân sốcủa một quốc gia, người ta sửdụng công thức S = A · enr, trong đó A là dân sốcủa năm lấy làm mốc tính, S là dân sốsau n năm, r là tỉlệtăng dân sốhàng năm. Năm 2017, dân sốViệt Nam là 93ã671ã600 người (Tổng cục Thống kê, Niên giám thống kê 2017, Nhà xuất bản Thống kê, Tr. 79). Giảsửtỉlệtăng dân sốhàng năm không đổi là 0, 81%, dựbáo dân sốViệt Nam năm 2035 là bao nhiêu người (kết quảlàm tròn đến chữsố hàng trăm)?

A 109 · 256 · 100. B 108 · 374 · 700. C 107 · 500 · 500. D 108 · 311 · 100.

Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀMINH HỌA

25. TOÁN THỰC TẾSỬDỤNG HÀM MŨ VÀ LÔGARIT PHÁT TRIỂN ĐỀMINH HỌA LẦN 1

Lời giải.

Phân tích hướng dẫn giải

1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tăng trưởng dân số.

2. HƯỚNG GIẢI:

B1. Xác định các yếu tốA, n, r trong công thức.

B2. Áp dụng công thức S = A · enr trong đó A là dân sốcủa năm lấy làm mốc tính, S là dân sốsau n năm, r là tỉlệtăng dân sốhàng năm.

LỜI GIẢI CHI TIẾT Lấy năm 2017 làm mốc, ta có A = 93 · 671 · 600; n = 2035 −2017 = 18

⇒Dân sốViệt Nam vào năm 2035 là S = 93671600 · e18ã0,81

100 ≈108 · 374 · 700. Chọn phương án B

3 BÀI TẬP TƯƠNG TỰVÀ PHÁT TRIỂN

Câu 1. Cho biết rằng sựtỉlệtăng dân sốthếgiới hàng năm là 1, 32%, nếu tỉlệtăng dân sốkhông thay đổi thì dân sốsau N năm được tính theo công thức tăng trưởng liên tục S = A · eNr trong đó A là dân sốtại thời điểm mốc, S là sốdân sau N năm, r là tỉlệtăng dân sốhàng năm. Năm 2013 dân sốthếgiới vào khoảng 7095 triệu người. Biết năm 2020 dân sốthếgiới gần nhất với giá trịnào sau đây?

A 7879 triệu người. B 7680 triệu người. C 7782 triệu người. D 7777 triệu người. Lời giải. Lấy năm 2013 làm mốc, ta có A = 7095, N = 2020 −2013 = 7

⇒Dân sốthếgiới vào năm 2020 là S = 7095 · e7ã1,32

100 ≈7781, 82 triệu người. Chọn phương án C

Câu 2. Sinh nhật của An vào ngày 1 tháng 5. Bạn An muốn mua một chiếc máy ảnh giá khoảng 600.000 đồng đểlàm quà sinh nhật cho chính mình. Bạn ấy quyết định bỏống tiết kiệm 10000 đồng vào ngày 1 tháng 1 của năm đó, sau đó cứtiếp tục những ngày sau, mỗi ngày bạn bỏống tiết kiệm 5.000 đồng. Biết trong năm đó, tháng 1 có 31 ngày, tháng 2 có 28 ngày, tháng 3 có 31 ngày và tháng 4 có 30 ngày. Gọi a (đồng) là sốtiền An có được đến sinh nhật của mình (ngày sinh nhật An không bỏtiền vào ống). Khi đó ta có:

A a ∈[610000; 615000). B a ∈[605000; 610000). C a ∈[600000; 605000). D a ∈[595000; 600000). Lời giải. Theo giảthiết An bỏống tiết kiệm từngày 1 tháng 1 đến ngày 30 tháng 4 nên tổng sốngày bỏ tiết kiệm là 120 ngày. Ngày thứnhất An bỏống: 10000 đồng.