Bài tập tính đơn điệu của hàm số có chứa tham số

NGUYỄN CÔNG ĐỊNH

GIÁO VIÊN TRƢỜNG THPT ĐẦM DƠI

CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA

N.C.Đ

HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU 1

CHỦ ĐỀ: ĐƠN ĐIỆU

VẬN DỤNG – VẬN DỤNG CAO

DẠNG 2

BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ

KIẾN THỨC CẦN NẮM VỮNG

   

   ; ; max . a b m f x x a b m f x    

   

   ; ; min . a b m f x x a b m f x    

  m f x  có nghiệm trên  

   ; ; min . a b a b m f x  

  m f x  có nghiệm trên  

   ; ; max . a b a b m f x  

  1 2 . 0. x α x a f α    





1 2

0

2 .

. 0

x x α S α

a f α

         





1 2

0

2 .

. 0

α x x S α

a f α

         

Phương pháp :

+ Tính

2 y' 3ax 2bx c    là tam thức bậc 2 có biệt thức .

+ Để hàm số đồng biến trên R a 0

0    

+ Để hàm số nghịch biến trên R a a

0    

Phương pháp :

+ Tính

2 y' 3ax 2bx c    là tam thức bậc 2 chứa tham số m.

Bài toán 1: Tìm tham số m để hàm số bậc ba đơn điệu trên .

Bài toán 2: Tìm tham số m để hàm số bậc ba đơn điệu trên .

Kiến thức bổ sung 1: Biện luận nghiệm bất phƣơng trình chứa tham số .

Kiến thức bổ sung 2: So sánh 2 nghiệm của tam thức với số thực

NGUYỄN CÔNG ĐỊNH

GIÁO VIÊN TRƢỜNG THPT ĐẦM DƠI

CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA

N.C.Đ

HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU 2

+ Hàm số đồng biến trên       ; ' , 0 ; a b y f x m x a b     (hoặc hàm số nghịch biến trên

      ; ' , 0 ; a b y f x m x a b     ).

Cách 1: (   , f x m bậc nhất đối với m, hoặc   , f x m không có nghiệm “chẵn”)

+ Biến đổi bpt         , 0 ; ; f x m x a b g x h m x a b      hoặc     ; g x h m x a b  

.

+ Tìm GTLN, GTNN của  y g x  trên   ; . a b

(Sử dụng kiến thức bổ sung 1 để kết luận tập nghiệm bất phƣơng trình).

Cách 2: (tham số m trong   , f x m có chứa bậc 1 và bậc 2, hoặc   , f x m có nghiệm “chẵn”)

+ Tìm các nghiệm của tam thức bậc hai, lập bảng xét dấu.

+ Gọi S là tập hợp có dấu “thuận lợi”. Yêu cầu bài toán xảy ra khi   ; . a b S  Sau đó sử

dụng kiến thức bổ sung 2 giải quyết bài toán.

Nhận xét: Nên xét cụ thể trường hợp 0 a  nếu hệ số a có chứa tham số.

Phương pháp :

+ Tính 3

2

0 ' 4 2 ; ' 0

2

x y ax bx y b x a

        

.

+ Lập bảng xét dấu y’, giả sử có S là tập “thuận lợi”.

+ Yêu cầu của bài toán thỏa mãn khi   ; . a b S  Sau đó sử dụng kiến thức bổ sung 2 giải

quyết bài toán.

Nhận xét: Nên xét cụ thể trường hợp 0 a  nếu hệ số a có chứa tham số.

Phương pháp :

+ Hàm số ax b y cx d    đồng biến trên    

0 ;

;

ad bc m n d m n c

     

.

+ Hàm số ax b y cx d    nghịch biến trên    

0 ;

;

ad bc m n d m n c

     

.

Phương pháp : Đặt  t u x  hàm số trờ thành  y f t  . Trƣờng hợp này cần chú ý 3 vấn đề sau:

1. Tìm miền xác định của  t u x  cho chính xác.

Bài toán 3: Tìm tham số m để hàm số trùng phƣơng đơn điệu trên .

Bài toán 4: Tìm tham số m để hàm số phân thức đơn điệu trên .

Bài toán 5: Tìm tham số m để hàm số đơn điệu trên .

NGUYỄN CÔNG ĐỊNH

GIÁO VIÊN TRƢỜNG THPT ĐẦM DƠI

CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA

N.C.Đ

HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU 3

2. Nếu  t u x  đồng biến trên thì  f u x     và  f t cùng tính chất đồng biến hoặc nghịch

biến.

3. Nếu  t u x  nghịch biến trên thì  f u x     và  f t ngƣợc tính chất, nghĩa là  f u x    

đồng biến thì  f t nghịch biến và ngƣợc lại.

BÀI TẬP

Câu 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số   2 3 2 1 2 3 3 y m m x mx x     đồng biến

trên .

A. 0 m  . B. 0

3

m

m

    

. C. 0

3

m

m

    

. D. 1 3 m   .

Câu 2. Số giá trị nguyên của tham số thực m để hàm số 2 2 mx y x m    nghịch biến trên khoảng

1 ; 2       

là

A. 4 . B. 3 . C. 5 . D. 2 .

Câu 3. Tập tất cả các giá trị của tham số m để hàm số 3 2 3 3 1     y x mx x đồng biến trên là:

A.   1;1  m . B.    ; 1 1;    m .

C.     ; 1 1;    m . D.   1;1  m .

Câu 4. Cho hàm số 4 1 mx y x

   (với m là …