Sử dụng tính đơn điệu của hàm số biện luấn số nghiệm phương trình, bất phương trình

NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 83

NGUYỄN CÔNG ĐỊNH

GIÁO VIÊN TRƢỜNG THPT ĐẦM DƠI

CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA

N.C.Đ

CHỦ ĐỀ: HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU

VẬN DỤNG – VẬN DỤNG CAO

DẠNG 3.1

BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM PHƢƠNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH

KIẾN THỨC CẦN NẮM VỮNG

Phương pháp :

 Phƣơng trình :  f x c  có nhiều nhất một nghiệm nếu  f x đơn điệu trên toàn bộ tập

xác định.

 Phƣơng trình :   f x g x  có nhiều nhất một nghiệm nếu hai hàm số   , f x g x có

tính đơn điệu trái ngƣợc nhau.

 Phƣơng trình :     f u x f v x u x v x            nếu f đơn điệu trên miền xác định.

Phương pháp :

 Bất phƣơng trình :    0 0 f x c f x x x     nếu  f x đồng biến trên toàn bộ tập xác

định và    0 0 f x c f x x x     nếu  f x nghịch biến trên toàn bộ tập xác định

 Bất phƣơng trình :   f x g x  và số 0x thỏa     0 0 f x g x  :

+ Có nghiệm 0 x x  nếu  f x đồng biến và  g x nghịch biến.

+ Có nghiệm 0 x x  nếu  f x nghịch biến và  g x đồng biến.

 Bất phƣơng trình :     f u x f v x u x v x            nếu f đồng biến trên miền xác

định và     f u x f v x u x v x            nếu f nghịch biến trên miền xác định.

Phương pháp : + Tìm miền giá trị của hàm số  f x là   ;a b .

+ Phƣơng trình có nghiệm khi  . a h m b  

Phương pháp :    

   ; ; max . a b m f x x a b m f x    

   

   ; ; min . a b m f x x a b m f x    

Bài toán 1: Biện luận số nghiệm phƣơng trình .

Bài toán 2: Biện luận số nghiệm bất phƣơng trình hoặc .

Kiến thức quan trọng 1: Dùng tính đơn điệu để giải phƣơng trình.

Kiến thức quan trọng 2: Dùng tính đơn điệu để giải bất phƣơng trình.

NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 84

NGUYỄN CÔNG ĐỊNH

GIÁO VIÊN TRƢỜNG THPT ĐẦM DƠI

CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA

N.C.Đ

  m f x  có nghiệm trên  

   ; ; min . a b a b m f x  

  m f x  có nghiệm trên  

   ; ; max . a b a b m f x  

Phương pháp : + Giả sử  f x liên tục trên   ;a b và  . f a f b 

+ Phƣơng trình có nghiệm   ; x a b  thì    f a h m f b   .

BÀI TẬP

Câu 1. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phƣơng trình 3 2 3 9 0 x x x m     có

đúng 1 nghiệm?

A. 27 5 m    . B. 5 m  hoặc 27 m  .

C. 27 m  hoặc 5 m  . D. 5 27 m   .

Câu 2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phƣơng trình 2 1 x x m   có

nghiệm thực?

A. 2 m  . B. 2 m  . C. 3 m  . D. 3 m  .

Câu 3. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phƣơng trình

2 2 4 5 4 x x m x x      có đúng 2 nghiệm dƣơng?

A. 1 3 m   . B. 3 5 m   . C. 5 3 m    . D. 3 3 m   .

Câu 4. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho mọi nghiệm của bất phƣơng trình:

2 3 2 0 x x    cũng là nghiệm của bất phƣơng trình   2 1 1 0 mx m x m     ?

A. 1 m . B. 4 7 m  . C. 4 7 m  . D. 1 m .

Câu 5. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phƣơng trình:

2 2 3 3 log log 1 2 1 0 x x m    có ít nhất một nghiệm trên đoạn 3 1;3     ?

A. 1 3 m   . B. 0 2 m   . C. 0 3 m   . D. 1 2 m   .

Câu 6. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phƣơng trình 2 2 2 1 x mx x     có

hai nghiệm thực?

A. 7 2 m  . B. 3 2 m  . C. 9 2 m  . D. m   .

Câu 7. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phƣơng trình

2 4 3 1 1 2 1 x m x x   có hai nghiệm thực?

A. 1 1 3 m  . B. 1 1 4 m   . C. 1 2 3 m   . D. 1 0 3 m   .

Câu 8. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phƣơng trình

2 (1 2 )(3 ) 2 5 3 x x m x x       nghiệm đúng với mọi 1 ;3 2 x       

?

A. 1 m . B. 0 m  . C. 1 m . D. 0 m  .

Câu 9. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phƣơng trình

Bài toán 3: Tìm tham số m để phƣơng trình có nghiệm