Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm 2017 tỉnh Quảng Trị có đáp án

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẢNG TRỊ

KỲ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA LỚP 12 THPT

Khóa ngày 03 tháng 10 năm 2017

Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

Câu 1. (4,0 điểm)

Tìm m để đồ thị hàm số 4 2 2 2( 2) y x m x m     ( m tham số thực) có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác có một góc bằng 0 120 .

Câu 2. (5,0 điểm)

1. Giải phương trình 5 2 4 2 1 2(2 1) 2 1 x x x x x x    . 2. Cho các số thực dương , , x y z thỏa mãn 1. xyz  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

 6 x y z A x y z y z x            

.

Câu 3. (6,0 điểm)

1. Cho hình chóp đều . . S ABCD Mặt phẳng ( ) P qua A vuông góc với SC cắt

, , SB SC SD lần lượt tại ', ', ' B C D . Biết rằng ' 2 , 3 SB AB a SB   và ' C nằm trên cạnh SC .

a) Tính diện tích tứ giác ' ' '. AB C D b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và ' ' B C .

2. Cho đường tròn ( ) O cắt các cạnh của tam giác ABC tại sáu điểm phân biệt , , , , , D E F G I H sao cho D và E nằm trên BC , F và G nằm trên CA, I và H nằm trên . AB Chứng minh rằng nếu các đường thẳng đi qua D vuông góc BC , qua F vuông góc CA, qua H vuông góc AB đồng quy thì các đường thẳng đi qua E vuông góc BC , qua G vuông góc CA, qua I vuông góc AB đồng quy.

Câu 4. (3,0 điểm)

1. Cho dãy số ( ) nx thỏa mãn * 1 1

5 4 5; , 2

n n

n

x x x n x 

      .

Tìm số hạng tổng quát của ( ) nx và tính lim . nx 2. Cho hàm số 

4 3 2 f x x ax bx cx d      ( , , , a b c d là các số thực) thỏa mãn

      1 100, 2 200, 3 300 f f f       . Tính giá trị của biểu thức     10 14 582 16 f f P     .

Câu 5. (2,0 điểm)

Cho * , , , m n k m k    . Chứng minh 0 1 1 0 1 1 1 ... k k k k m n m n m n m k n k C C C C C C C           .

--------------------------Hết-------------------------

Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay và tài liệu.

Họ và tên thí sinh:……………………………………Số báo danh:………………………

ĐỀ CHÍNH THỨC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẢNG TRỊ

KỲ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA LỚP 12

Khóa ngày 03 tháng 10 năm 2017

HƯỚNG DẪN CHẤM

Môn thi: TOÁN (Hướng dẫn chấm gồm 03 trang)

Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một phương án giải, học sinh làm đúng theo phương án khác cho điểm tối đa theo ý câu đó.

Tổ chấm chỉ chi tiết biểu điểm chấm, không làm thay đổi thang điểm chấm của từng câu.

Câu Đáp án Điểm

C1 4đ

3 ' 4 4( 2) . y x m x   

2

0 ' 0 . 2

x y

x m

      

Hàm số có ba cực trị khi 2. m 

0, 25

0,75

Khi đó

0 ' 0

2.

x y

x m

     

Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là

2 (0; ), ( 2; 4 4), ( 2; 4 4). A m B m m C m m        

Vì tam giác ABC cân đỉnh A nên  0 120 . BAC  Gọi H là trung điểm của BC, (0; 4 4). H m  

0, 5

0,5

0,5

Ta có 4 4

3

1 2 2 ( 2) 4( 2) 2 . 3 AB AH m m m m          0,5

1,0

C2 Ý1 3đ

Điều kiện: 1 . 2 x  Đặt 2 1, 0. t x t    0,5

Phương trình trở thành: 5 5 (1). x x t t    0,5

Xét 5 4 ( ) , '( ) 5 1 0, . f x x x f x x x      Do đó hàm số ( ) f x đồng biến trên .  0,5

Từ (1) ta được . x t  0,5

Từ đó ta có 2

0 2 1 1. 2 1 0

x x x x x x

         

1,0

C2 Ý2 2đ

Ta có

2

3 3 3 x x y x x y y z yz     (do , , 0 x y z  và ) 1 xyz  . 0,5

Tương tự 3 , 3 y y z z z x y z z z x x x y       nên (1) x y z x y z y z x      0,5

Vì 0 x y z   , và cùng với (1) ta có:

    

2 6 =9 3 9 A x y z x y z x y z           

0,5

Khi 1 9. x y z A     Vậy giá trị trị lớn nhất của A bằng 9. 0,5