Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm 2016 - 2017 tỉnh Quảng Trị có đáp án chi tiết

UBND TỈNH QUẢNG TRỊ SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KÌ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA LỚP 12

NĂM HỌC 2016 – 2017

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

(Đề thi gồm 01 trang)

Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát đề

Câu 1. (4,0 điểm)

1. Tìm số nguyên dương n biết      

0 1 2 1 1 1 2047 ... 2 3 1 11

n n n n n C C C C n .

2. Một vật chuyển động theo quy luật 3 2 1 9 2 s t t   , với t (giây) là khoảng thời gian tính lúc bắt

đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường đi được trong khoảng thời gian đó. Hỏi khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu? Câu 2. (6,0 điểm) 1. Cho hàm số 

2 x x f x e e   . Tìm x để   ' 2 3 f x f x   .

2. Giải bất phương trình      2 4 1 6 4 2 2 3 x x x x .

3. Tìm tham số m để hệ sau có nghiệm    

3 2

2 2 2 , 1 2

x y x xy m x y x x y m

           

Câu 3. (6,0 điểm) 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với , 3. AB a BC a   Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy; gọi I là điểm nằm trên cạnh SC sao cho SC = 3IC. Biết AI vuông góc SC. a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD. b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AI và SB. 2. Cho hình lăng trụ đứng .  ABC A B C , đáy ABC là tam giác đều. Gọi là góc tạo bởi A B  với mặt phẳng   ACC A  và  là góc giữa mặt phẳng   A BC  với mặt phẳng   ACC A .

Chứng minh rằng: 0 60  và 2 2 1 cot cot 3     .

Câu 4. (2,0 điểm) Cho các số 1 2 3 1 2 3 , , , , , x x x y y y thỏa mãn:

2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3 0; 0; 0 x x x y y y x y x y x y x x x y y y               

Chứng minh rằng:

2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3

2 3 x y x x x y y y       .

Câu 5. (2,0 điểm) Cho các số thực dương x, y, z, t có tích bằng 1. Chứng minh:

2 2 2 2 1 1 1 1 1 (1 ) (1 ) (1 ) (1 )         x y z t

.

--------------------------Hết-------------------------

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh………………………………………………Số báo danh………………………

UBND TỈNH QUẢNG TRỊ SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KÌ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA LỚP 12

NĂM HỌC 2016 – 2017 HƯỚNG DẪN CHẤM

Môn thi: TOÁN (Hướng dẫn chấm gồm 03 trang) Câu Đáp án (trang 01) Điểm

C1 Ý1 2,0 đ

Xét khai triển  

0 1 2 2 1 ... n n n n n n n x C C x C x C x       0, 5

nên    

1 1

0 1 2 2

0 0 1 ... n n n n n n n x dx C xC x C x C dx        

0, 5

suy ra

1 0 1 2 1 1 1 2 1 ... 2 3 1 1

n n n n n n C C C C n n

       

0, 5

Từ đề ra, ta có

1 10 1 2 1 2 1 10 1 10 1

n

n n

        

0, 5

C1 Ý2

2,0 đ

Ta có 2 3 ( ) '( ) 18 2 v t s t t t    0,5

Xét hàm ( ) v t với   0;10 t ; '( ) 3 18; '( ) 0 6 v t t v t t    

Lập bảng biến thiên ( ) v t

1,0

Vận tốc lớn nhất trong khoảng 10 giây kể từ lúc xuất phát là (6) 54 / v m s  0,5

C2

Ý1 1,0 đ

Ta có 

2 ' 2 x x f x e e   0,5

 

2 2 ' 2 3 2 2( ) 3

1 0

        

  

x x x x

x f x f x e e e e

e x

0,5

C2

Ý2 3,0 đ

Điều kiện 1 4 x   0,5

Với điều kiện trên bất phương trình tương đương với

     

     

     

2

2 2

2

2

4 1 1 6 4 2 2 2 0

2 2 2 2 0 4 1 1 6 4 2

1 1 2 2 0 4 1 1 6 4 2

x x x x x x

x x x x x x x x x x

x x

x x x x

         

            

                  

0,5

0,5

0.5

[ 2 2 0 0;2] x x x      . Đối chiếu điều kiện, tập nghiệm [0;2] S  1,0

C2

Ý3

2,0 đ

Đặt 2 1 , (*); 2 4 u x x u v x y       . Hệ trở thành

  2 2 1 0(1)

1 2 1 2

u m u m uv m u v m v m u

                 

0,5

Hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (1) có nghiệm thỏa mãn (*) 0,5