Chuyên đề Ứng dụng tích phân lớp 12 chi tiết

1

Bài 3. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

I. DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

Bài toán 1: Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các

đường (C) : y f(x)  , trục hoành ( 0) y  , hai đường thẳng , x a x b   là

b

a S f (x dx  .

Bước 1. Lập công thức tính diện tích.

Bước 2. Lập bảng xét dấu f(x) trên đoạn [a; b].

Chú ý: Nếu có đồ thị (C) thì ta dựa vào đồ thị mà không cần lập bảng xét dấu.

Bước 3. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân

b

a

f(x) dx  .

VD1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: (C): x 1 y ,x 0, x 1,Ox x 1      .

Giải:

Diện tích hình phẳng là

1

0

1 1 x S dx x

   

Do trên   0;1 , 1 0 1 x x

   nên 1 1 2 1. 1 1 1 x x x x x        

1 1 1

0 0 0 1 2 1 (2ln 1 ) 2ln 2 1. 1 1 x S dx dx x x x x                   

VD2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: x = 1, x = e, Ox, ( C) : ln x y

2 x  .

Giải:

Diện tích hình phẳng là

1

ln . 2

e x S dx x 

     

( )

( )

y f x y 0 H

x a x b a 1c 2c

 ( ) y f x

y

O x

3c b

( )

b

a S f x dx 

2

Trên   1;e , ln 0 2

x

x

 nên

1

ln . 2

e x S dx x 

Đặt

1 ln

1 2

u x du dx x dv dx v x x

             

.

1 1 1 1 .ln .ln 2 2 . e e e S x x dx x x x e x       

VD3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: x = -1, Ox, Oy, ( C): 3 y x 3x 2    có đồ thị như hình vẽ

Giải:

Diện tích hình phẳng là

0

3

1

3 2 S x x dx

    

Dựa vào đồ thị ta có:  

0 4 2 3

1

0 3 13 3 2 2 1 4 2 4 x x S x x dx x



             

Chú ý: Nếu bài toán cho thiếu đường x a  hoặc đường x b  thì ta giải phương trình:  0 f x  để tìm.

VD: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: 3x 1 (C):y x 1     và hai trục tọa độ.

Giải:

Hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và trục hoành :   3 1 1 0 1 1 3 x x x x       

  0 0 0 0

1 1 1 1

3 3 3 3 3 3 1 3 1 4 3 3 4ln 1 1 1 1

4 1 4 x x S dx dx dx x x l x x n x                               .

3

Bài toán 2: Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) liên tục trên   a;b . Diện tích hình phẳng giới

hạn bởi các đường y f(x), y g(x)   , , x a x b   là:

b

a S f (x) g(x) dx    .

Bước 1. Giải phương trình f(x) g(x)  tìm nghiệm thuộc khoảng (a;b) (nếu có)

Bước 2. Lập bảng xét dấu f(x) g(x)  trên đoạn a;b    .

Bước 3. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân

b

a

f(x) g(x) dx   .

Chú ý:

1) Nếu trong đoạn a; b     phương trình f(x) g(x)  không còn nghiệm nào nữa thì ta có

thể dùng công thức

b b

a a f(x) g(x) dx f(x) g(x) dx          .

2) Nếu bài toán không cho hoặc cho thiếu đường , x a x b   thì ta tìm bằng cách giải phương trình f(x) g(x) 

VD1:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: 3 2 y x 11x 6, y 6x     , x 0, x 2   .

Hướng dẫn giải:

Diện tích hình phẳng là:

2 3 2

0 11 6 6 S x x x dx     

Phương trình hoành độ giao điểm của 2 đường:

3 2 3 2

1 11 6 6 6 11 6 0 2 3

x x x x x x x x x

               

   

2 1 2 3 2 3 2 3 2

0 0 1

5 11 6 6 6 11 6 6 11 6 2 S x x x dx x x x dx x x x dx                

1 ( ) C

2 ( ) C

a 1 c

y

O b x 2 c