2 Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm 2020 - 2021 chọn lọc - Bộ đề 4

SỞ GD&ĐT THANH HÓA

TRƯỜNG THPT CHUYÊN LAM SƠN

----------------------------------------

KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN CẤP TRƯỜNG

NĂM HỌC 2020 - 2021

Môn thi: TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)

Bài 1. (5 điểm)

Cho dãy   nx , 0,1, n   xác định bởi 0 1 x  và với mỗi 0 n  , đặt 1 3 5 n n n x x x       (ở đây  a là số

nguyên lớn nhất không vượt quá a). Tìm 3 0 lim 2

n i i n i

x

 .

Bài 2. (5 điểm)

Tìm tất cả các đa thức ( ) [ ] P x x  sao cho với mọi ,a b mà 2 2 a b   thì ( ) ( ) P a P b  .

Bài 3. (5 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp  O . Giả sử OA cắt các đường cao từ B và C của tam giác ABC lần lượt tại

P, Q. Gọi H là trực tâm tam giác ABC. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác PQH thuộc một trung tuyến của tam giác ABC.

Bài 4. (5 điểm)

Bảng ô vuông gồm m hàng và n cột, với mỗi ô vuông con được đặt một trong hai số: 0 hoặc 1. Một bảng được gọi là “tốt” nếu tổng các số của mỗi dòng, của mỗi cột, là số chẵn. Hỏi:

a) Có bao nhiêu bảng số như trên?

b) Có bao nhiêu bảng “tốt”?

-------------------- HẾT --------------------

https://toanmath.com/

SỞ GD&ĐT THANH HÓA

TRƯỜNG THPT CHUYÊN LAM SƠN

----------------------------------------

KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN CẤP TRƯỜNG

NĂM HỌC 2020 - 2021

Môn thi: TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)

Bài 5. (6 điểm)

Xác định tất cả các hàm số liên tục :[0; ) [0; ) f   thỏa mãn: 2 1 2 ( ) 1 2 x x f x f f x x                  với

mọi [0; ) x .

Bài 6. (7 điểm)

Xét p là số nguyên tố thỏa mãn

2 ( 1) 5 1 p  không chia hết cho 2 p . Tìm tất cả các cặp số nguyên dương ( ; ) x y

thỏa mãn 5 x p p y   .

Bài 7. (7 điểm)

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn  và l là đường thẳng không có điểm chung với . Ký hiệu P là hình chiếu vuông góc của tâm đường tròn  lên l. Các đường thẳng BC, CA, AB lần lượt cắt đường thẳng l tại các điểm X, Y, Z khác P. Chứng minh rằng tâm của các đường tròn ngoại tiếp tam giác AXP, BYP và CZP thẳng hàng.

-------------------- HẾT --------------------

https://toanmath.com/