Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm 2020 - 2021 THPT chuyên Nguyễn Du

SỞ GD&ĐT ĐẮK LẮK

TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN DU

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề thi có: 01 trang)

KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC 2020 - 2021

Môn: TOÁN - Lớp: 12 – Vòng: 2

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1. (4,0 điểm)

Cho    ; n n a b thỏa mãn:

1 1

1

1

1 2020; 2020 2

2 6

n n n

n n n

a b

a a b

b a b





              

. Tính giới hạn    ; n n a b nếu có.

Bài 2. (4,0 điểm)

Tìm các đa thức ( ), ( ) [ ] P x Q x x  khác đa thức không và có bậc bé nhất thỏa mãn:

  2 5 ( ) ( ) ( ) P x Q x P x x Q x    , x .

Bài 3. (4,0 điểm)

Tìm tất cả n tự nhiên để   

.2 .. 2 2

soá 2 2 2

n A viết được thành 3 3 3 a b c   với a, b, c nguyên.

Bài 4. (4,0 điểm)

Cho tam giác ABC   AC AB  . Lấy hai điểm M, N lần lượt trên AB và AC sao cho MN song song với BC.

Gọi P là giao điểm của hai đoạn thẳng BN và CM. Gọi A' là điểm đối xứng của A qua đường thẳng BC; ( )  là đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN.

a) Gọi E là điểm thuộc đường tròn ( )  sao cho // AE MN . Chứng minh rằng: E, P, A' thẳng hàng.

b) Gọi F là giao điểm thứ hai của A'P với đường tròn ( )  và I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AA'F. Chứng minh IF tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác BFC.

Bài 5. (4,0 điểm)

Cho tập hợp {1;2; ;101} A   , tô màu ít nhất 50 phần tử của A sao cho: nếu ,a b A  (a, b không nhất thiết phân biệt) được tô màu và a b A  thì a b  cũng được tô màu. Gọi S là tổng tất cả các số không được tô màu của A. Tìm giá trị lớn nhất của S.

-------------------- HẾT --------------------

https://toanmath.com/

+ Thí sinh không được sử dụng tài liệu.

+ Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

+ Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Số báo danh: . . . . . . . . . . . . . .