Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm 2020 - 2021 cấp quốc gia - Đề 2

SỞ GD&ĐT ĐẮK LẮK

TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN DU

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề thi có: 01 trang)

KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC 2020 - 2021

Môn: TOÁN - Lớp: 12 – Vòng: 1

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1. (5,0 điểm)

a) Giải phương trình:  

2 4 3 2 3 1 2 2 2 1 x x x x x x x x       .

b) Giải hệ phương trình:

2

2 2 2 2 2

2( 1) 2 3 2 4

xy y x

y x x x x x

            .

Bài 2. (3,0 điểm) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn 1 x y z   . Chứng minh rằng:

1 1 1 2 x y z x z y y z z x x y z y x                  .

Bài 3. (4,0 điểm) Chứng minh rằng với mọi n  , luôn tồn tại m sao cho:

  2 1 1 n m m    .

Bài 4. (5,0 điểm) Cho tứ giác lồi ABCD nội tiếp đường tròn  C . Gọi M, N, P lần lượt là giao điểm của các

cặp đường thẳng AB và CD, AD và BC, AC và BD. Gọi 4 1 2 3 , , , I I I I lần lượt là tâm đường tròn bàng tiếp các

tam giác ABN, BCM, CDN và ADM tương ứng với các đỉnh A, C, D và D.

a) Chứng minh các điểm 4 1 2 3 , , , I I I I đồng viên.

b) Gọi I là tâm đường tròn qua 4 1 2 3 , , , I I I I . Chứng minh PI vuông góc với MN.

Bài 5. (3,0 điểm) Tìm tất cả các hàm số : f    thỏa mãn:

( ( )) ( ( ) ) ( ) ( ) 2 2 f x f y f f x x f y f x x y        , ,x y  .

-------------------- HẾT --------------------

https://toanmath.com/