Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm 2020 - 2021 THPT Chu Văn An

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI

TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN

ĐỀ CHÍNH THỨC

THI CHỌN HỌC SINH GIỎI DỰ THI THÀNH PHỐ

LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2020 - 2021

Môn thi: TOÁN

Ngày thi: 12 tháng 09 năm 2020

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)

Đề thi gồm 01 trang

Bài 1. (4,0 điểm)

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 2cos 3 2cos x y x m    nghịch biến trên khoảng 0; . 3       

Bài 2. (5,0 điểm)

1) Giải phương trình 3 2 3 2 1 2( 2) 4 5 3 x x x       .

2) Giải hệ phương trình     2 2 2 2

2

( ) 3 3 2

( 1) 1 2 2 6 15

x y x xy y x y

y x x y x y

                .

Bài 3. (3,0 điểm)

Cho dãy số   nu xác định bởi 1 2 1

3 2 1 n n

u u u 

        n   .

1) Xét tính tăng, giảm của dãy số   nu .

2) Đặt

1

1 1 1 1 n n b u u    . Tính lim . nb

Bài 4. (6,0 điểm)

1) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có   2;1 M là trung điểm cạnh AC, điểm   0; 3 H  là chân đường

cao kẻ từ A, điểm   23; 2 E  thuộc đường thẳng chứa đường trung tuyến kẻ từ C. Tìm tọa độ điểm B biết rằng

điểm A thuộc đường thẳng : 2 3 5 0 d x y    và điểm C có hoành độ dương.

2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh 2 AB a  và  60 ABC  . Đường thẳng SO

vuông góc với mặt phẳng   ABCD và 3 SO a  . Tính theo a khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng  . SBC

3) Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi  là số đo của góc  BAC và  là số

đo của góc giữa đường thẳng OA và mặt phẳng   ABC . Gọi R và S lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp

và diện tích tam giác ABC. Chứng minh rằng:

2 2 cos sin 2

R

S   .

Bài 5. (2,0 điểm)

Xét a, b, c là các số thực dương, thoả mãn các điều kiện 1 abc  và 2 2 2 2 1 2 1 a b a b ab    . Tìm giá trị nhỏ

nhất của biểu thức 2 2 1 1 1 1 3 1 1 P c a b       .

--------------- HẾT ---------------

https://toanmath.com/

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Số báo danh: . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chữ kí cán bộ coi thi số 1: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chữ kí cán bộ coi thi số 2: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .