Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 có đáp án - Đề 1

TRƯỜNG THPT BÌNH XUYÊN KÌ THI THỬ HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2017-2018 ĐỀ THI MÔN: TOÁN - THPT Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1 (2,5 điểm). a) Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình sau đây có đúng hai nghiệm thực phân biệt   

2 2 2 2 2 3 4 4 12 m x x x x m            x

b) Cho hàm số 2 1 x y x

   có đồ thị (C).

Hãy lập phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm   3; 1 M  và cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho 3 MB MA  Câu 2 (2,0 điểm). a) Giải phương trình:    2 cos4 1 2 sin 2 cos 3sin 2 0 x x x x      .

b) Tính tổng:

2 2 2 1 2 100 100 100 100 1 2 100 S 2 3 101 C C C     

Câu 3 (1,5 điểm).

Giải hệ phương trình:    

2 4 2 4 2

2

2 2 1 2 3 2 , 3

x y xy y x y x y x y x

             



Câu 4 (1,5 điểm). Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy , cho đường tròn C và đường thẳng  d lần

lượt có phương trình     2 2 2 1 8 x y     và 2 3 0 x y   . Cho hình thoi ABCD ngoại tiếp

đường tròn  C và điểm A thuộc đường thẳng  d . Hãy tìm tọa độ các đỉnh , , , A B C D ; biết rằng

2 BD AC  và tung độ của điểm A không nhỏ hơn2. Câu 5 (1,5 điểm). Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông và tam giác SAB là tam giác cân tại đỉnh S. Góc giữa đường thẳng SAvà mặt phẳng đáy bằng 0 45 , góc giữa mặt phẳng   SAB và mặt

phẳng đáy bằng 0 60 . Tính thể tích khối chóp .S ABCD , biết rằng khoảng cách giữa hai đường

thẳng CD và SAbằng 6 a . Câu 6 (1,0 điểm).

Cho , , x y z là các số thực không âm thoả mãn điều kiện 2 2 2 1 x y z   .

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 6( ) 27 P y z x xyz     .

----------Hết---------

Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh ………………………………………….Số báo danh………………….

ĐỀ CHÍNH THỨC

2

TRƯỜNG THPT BÌNH XUYÊN KÌ THI THỬ HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2017-2018 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN – THPT (Gồm 06 trang)

Lưu ý khi chấm bài: - Đáp án chỉ trình bày một cách giải bao gồm các ý bắt buộc phải có trong bài làm của học sinh. Khi chấm nếu học sinh bỏ qua bước nào thì không cho điểm bước đó. - Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong đáp án để cho điểm. - Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai đó không được điểm. - Học sinh được sử dụng kết quả phần trước để làm phần sau. - Trong lời giải câu 5 nếu học sinh không vẽ hình thì không cho điểm. - Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn. Câu 1. (2,5 điểm)

Nội dung Điểm

a) 1,0 điểm

Điều kiện 2 2 x   , đặt 2 2 2 2 2 10 3 4 4 t x x t x x         

  ' 1 1 0, 2;2 2 2 2 xt x x x       nên     2;2 4;2 x t   0,25

Khi đó pt đã cho có dạng:     2 2 2 10 12 1 2 2 m t t m m t t t          

+) Nếu 1 t  thay vào pt trên không thỏa mãn +) Nếu 1 t  pt trên có dạng

2 2 2 1 t t m t     (1). Xét hàm số   

2 2 2 , 4;2 \ 1 1 t t f t t t     

0,25

Ta có   



2

2 2 ' , ' 0 0, 2. 1

t t f t f t t t t

      Ta có bảng biến thiên như sau:

-

2

2

+

-

1

- 26

5

-2

- + 0

0 -4

f(t)

f'(t)

t

0,25

Dựa vào bảng biến thiên ta được pt ban đầu có đúng hai nghiệm phân biệt

26 2 5 m    0,25

b) 1,5 điểm Ta thấy nếu đường thẳng (d) không có hệ số góc thì nó chỉ cắt (C) tại đúng một điểm suy ra (d) phải có hệ số góc. Giả sử (d) có hệ số góc là k thì phương trình của (d): 3 1 y kx k   . Phương trình hoành độ giao điểm là: 0,25

ĐỀ CHÍNH THỨC