Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm 2020 - 2021 cấp quốc gia - Đề 8

SỞ GD&ĐT HẢI PHÒNG

TRƯỜNG THPT CHUYÊN TRẦN PHÚ

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

(Đề thi gồm 01 trang)

KÌ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN CẤP TRƯỜNG

NĂM HỌC 2020 – 2021

Môn thi: TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 12/09/2020

Bài 1. (4,0 điểm)

Cho dãy số   n u được xác định như sau:

1 2

* 2 1

4, 5

2 , n n n

u u

u u u n  

       

.

Chứng minh dãy   n u có giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn đó.

Bài 2. (4,0 điểm)

Xác định tất cả các đa thức hệ số nguyên nhận 1 2021  làm nghiệm.

Bài 3. (4,0 điểm)

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn  O , D là điểm chính giữa cung BC không chứa A, E là điểm đối

xứng với B qua AD, BE cắt  O tại F khác B. Điểm P di chuyển trên cạnh AC. BP cắt  O tại Q khác B.

Đường thẳng qua C song song với AQ cắt FD tại điểm G.

a) Gọi H là giao điểm của EG và BC. Chứng minh rằng B, P, E, H cùng thuộc một đường tròn, gọi

đường tròn này là   K .

b)   K cắt  O tại L khác B. Chứng minh rằng LP luôn đi qua một điểm S cố định khi P di chuyển.

c) Gọi T là trung điểm PE. Chứng minh rằng đường thẳng qua T song song với LS đi qua trung điểm của AF.

Bài 4. (4,0 điểm)

Có bao nhiêu số nguyên dương n không vượt quá 2020 10 thỏa mãn   2020 2 2021 mod 5 n  ?

Bài 5. (4,0 điểm)

Xét {1;2;3;...;2020} X  là tập hợp 2020 số nguyên dương đầu tiên. Với mỗi song ánh : f X X  , kí

hiệu  

2020

1

4

k S f k f k

    . Hỏi có bao nhiêu song ánh : f X X  thỏa mãn f S lớn nhất?

-------------------- HẾT --------------------