Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm 2020 - 2021 cấp quốc gia - Đề 1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

BẾN TRE

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI

QUỐC GIA LỚP 12 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

NĂM HỌC 2020 - 2021

Môn: TOÁN

Ngày thi: 17/09/2020

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu 1. (4 điểm)

Giải hệ phương trình:

4

2 2 5 6 5 6

x y

x y x

       với ,x y .

Câu 2. (4 điểm)

Cho đa thức   ; P x y không phải là đa thức hằng, thỏa mãn: ( ; ). ( ; ) ( ; ) P x y P z t P xz yt xt yz    , , , , . x y z t  

Chứng minh rằng:   ; P x y chia hết cho ít nhất một trong hai đa thức ( ; ) Q x y x y   , ( ; ) H x y x y   .

Câu 3. (4 điểm)

Tìm tất cả các hàm số : f    thỏa mãn:   1 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 f x xy f y f x f y               với mọi ,x y.

Câu 4. (4 điểm)

Cho tam giác ABC nhọn có  0 30 BAC  . Hai đường phân giác trong và ngoài của  ABC lần lượt cắt đường thẳng

AC tại 1 B và 2 B ; hai đường phân giác trong và ngoài của  ACB lần lượt cắt đường thẳng AB tại 1 C và 2 C . Giả

sử đường tròn đường kính 1 2 B B và đường tròn đường kính 1 2 C C cắt nhau tại một điểm P nằm bên trong tam

giác ABC. Chứng minh rằng  0 90 BPC  .

Câu 5. (4 điểm)

Cho dãy số   nu được xác định bởi:

 

        

1 2

* 2 1

20; 30

3 vôùi n n n

u u

u u u n .

Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho   1 1 5. . n n u u   là một số chính phương.

-------------------- HẾT --------------------

https://toanmath.com/