Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm 2020 - 2021 cấp quốc gia - Đề 3

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

PHÚ THỌ

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN

DỰ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA LỚP 12 THPT

NĂM HỌC 2020 – 2021

Môn thi: TOÁN

Ngày thi thứ nhất: 24/09/2020

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)

Đề thi gồm có 01 trang

Bài 1. (5,0 điểm)

Cho ,a b, a b  . Giải hệ phương trình: 2 2

3 2 2

3 2 ( )

3 3 2( )

3 ( ) 2

x z y a b

x xz y a b y ab

x x z y a b yab

                 

.

Bài 2. (5,0 điểm)

Cho dãy số thực dương   1 n n a  thỏa mãn điều kiện: 1 2 1 2 1 4 n n n n a a a a a a         , * n .

Chứng minh rằng 1 2 1 n n a a a a     , * n .

Bài 3. (5,0 điểm)

Giả sử O, I lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ABC với bán kính R, r tương ứng. Gọi P là điểm

chính giữa cung  BAC , QP là đường kính của  O , D là giao điểm của PI và BC, F là giao điểm của đường tròn

ngoại tiếp tam giác AID với đường thẳng PA. Lấy E trên tia DP sao cho DE DQ  .

a) Chứng minh rằng  0 90 IDF  .

b) Giả sử   AEF APE  , chứng minh rằng  2 2 sin r BAC R  .

Bài 4. (5,0 điểm)

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho S là tập hợp các điểm ( ; ) x y thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:

i) ,x y .

ii) 0 2020 y x    .

a) Tính số phần tử của S.

b) Hỏi có bao nhiêu tập con A gồm 2020 phần tử của S sao cho A không chứa hai điểm    2 1 1 2 ; ; ; x y x y thỏa mãn:

   1 2 1 2 0 x x y y    ?

-------------------- TOANMATH.com --------------------