Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm 2020 - 2021 cấp quốc gia - Đề 15

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH ĐỒNG THÁP

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Đề thi gồm có 01 trang

KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI

DỰ THI CẤP QUỐC GIA NĂM 2021

Môn thi: TOÁN

Ngày thi: 28/07/2020

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu 1. (4,0 điểm)

Với mỗi số nguyên dương 2 n  , xét số thực 1 n u  sao cho phương trình   n u x x  có đúng n nghiệm nguyên

(theo ẩn x và   n u x là phần nguyên của nu x ).

1. Chứng minh rằng   1 n u , n , 2 n  .

2. Với mỗi cách xác định của dãy   nu thỏa điều kiện trên. Chứng minh rằng dãy   nu luôn có giới hạn và

tìm giới hạn ấy.

Câu 2. (5,0 điểm)

1. Giải hệ phương trình:  

2 ( 1)( 1)( 1) 5

6

x y z

x y z x

          .

2. Xét số 3 2 n n T   , trong đó n là số nguyên dương, 2 n  . Chứng minh rằng:

a) Không tồn tại n để T là bình phương của một số nguyên tố.

b) Nếu T là lập phương của một số nguyên tố thì n là một số nguyên tố.

Câu 3. (3,0 điểm)

Với mỗi * m ta kí hiệu 2 (2 ) ( !) m m   , (2 1) ( !).(( 1)!) m m m     . Cho đa thức ( ) p x hệ số nguyên, có

bậc lớn hơn hoặc bằng k   * k  và có ít nhất k nghiệm nguyên phân biệt. Xét số nguyên n ( 0) n  sao cho

đa thức ( ) ( ) q x p x n   có ít nhất một nghiệm nguyên. Chứng minh rằng | | ( ) n k   .

Câu 4. (6,0 điểm)

Cho tam giác ABC, đường tròn nội tiếp  I tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tại D, E, F.

1. Gọi S là giao điểm của EF với BC. Chứng minh SI vuông góc với AD.

2. Đường thẳng d thay đổi, đi qua S và cắt đường tròn  I tại hai điểm phân biệt M, N. Các tiếp tuyến tại M,

N của  I cắt nhau tại T. Chứng minh T thuộc một đường thẳng cố định.

3. Gọi K là giao điểm của ME và NF, G là giao điểm của MC và NB. Chứng minh K và G cùng thuộc đường thẳng AD.

Câu 5. (2,0 điểm)

Viết n số thực có tổng bằng 1 n  ( 1) n  quanh một đường tròn. Chứng minh rằng ta có thể gắn nhãn cho các

số đó theo chiều kim đồng hồ là 1 2 , , , n x x x  sao cho: 1 2 1 k x x x k       , 1 . k n  

------------------------- HẾT -------------------------

https://toanmath.com/

+ Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.

+ Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Số báo danh: . . . . . . . . . . . . . . .

+ Chữ ký giám thị 1: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . + Chữ ký giám thị 2: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .