Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm 2020 - 2021 cấp quốc gia - Đề 14

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH ĐỒNG NAI

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN ĐỘI DỰ TUYỂN

THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA NĂM 2021

Môn thi: TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1. (4 điểm)

Cho dãy số   n u xác định bởi 1 2020 u  và 1

1 2021 n n u u n   với mọi * n.

Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương n sao cho 0 n u  .

Câu 2. (4 điểm)

Tìm các số nguyên dương x và y thỏa mãn 4 2 7 47 x x y    .

Câu 3. (4 điểm)

Tìm các hàm số : f    thỏa mãn    

3 2 ( ) ( ) ( ) f a f a f b f a b    , ,a b  .

Câu 4. (4 điểm)

Cho tam giác ABC cân tại A, lấy điểm D thuộc cạnh AB khác A và B, gọi  O là đường tròn ngoại tiếp tam giác

BCD, tiếp tuyến của đường tròn  O tại D cắt đường thẳng AC tại điểm E, vẽ tiếp tuyến EF của đường tròn

 O tại tiếp điểm F khác D. Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng BF và CD, gọi K là giao điểm của hai

đường thẳng AI và BC. Chứng minh 2 BK CK  .

Câu 5. (4 điểm)

Một tổ gồm có 5 học sinh được phân công trực nhật 6 ngày trong tuần từ thứ hai đến thứ bảy thỏa mãn các điều kiện sau: Mỗi ngày đều có từ 1 đến nhiều nhất là 2 học sinh trực và trong cả tuần mỗi học sinh trực đúng 2 lần, mỗi lần trực 1 ngày. Tính số các cách phân công trực nhật của tổ thỏa mãn các điều kiện đã cho.

-------------------- HẾT --------------------

https://toanmath.com/

+ Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay, không được sử dụng tài liệu.

+ Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Số báo danh: . . . . . . . . . . . . . . .