Bài giảng hệ tọa độ trong không gian Nguyễn Bảo Vương

Tài liệu toán 12 năm học 2018

Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 Page | 1

O

( )  1;0;0 i

( )  0;1;0 j

( )  0;0;1 k

z

y

x

A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Tọa độ của vectơ

a) Định nghĩa:   ; ; u x y z u xi y j zk          

với , , i j k 

là các vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục , , Ox Oy Oz .

b) Tính chất: Cho hai vectơ     1 2 3 1 2 3 ; ; , ; ; a a a a b b b b    

và k là số thực tùy ý, ta có:

•   1 1 2 2 3 3 ; ; a b a b a b a b       

.

•   1 1 2 2 3 3 ; ; a b a b a b a b      

.

•   1 2 3 . ; ; k a ka ka ka  

.

•

1 1

2 2

3 3

a b

a b a b

a b

        

 

.

• a 

cùng phương  

1 1 3 1 2 2 2 1 2 3 3 3

0

a kb a a a b b a kb b b b a kb

           

  

với 1 2 3 , , 0 b b b  .

• 1 1 2 2 3 3 . . . . a b a b a b a b    

.

• 1 1 2 2 3 3 . 0 . . . 0 a b a b a b a b a b          

.

• 2 2 2 2 1 2 3 a a a a    

, suy ra

2 2 2 2 1 2 3 a a a a a      

.

•  

1 1 2 2 3 3

2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3

. cos ; . .

a b a b a b a b a b a a a b b b a b

       

    với 0, 0. a b     

2. Tọa độ của điểm

a) Định nghĩa:     ; ; ; ; M x y z OM x y z   

( x : hoành độ, y tung độ, z cao độ).

Chú ý: Trong hệ tọa độ Oxyz , cho điểm   ; ; M x y z ta có các khẳng định sau:

•   0;0;0 M O M   .

•   0 M Oxy z    , tức là   ; ;0 . M x y

•   0 M Oyz x    , tức là   0; ; . M y z

•   0 M Oxz y    , tức là   ;0; . M x z

• 0 M Ox y z     , tức là   ;0;0 . M x

• 0 M Oy x z     , tức là   0; ;0 . M y

1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Tài liệu toán 12 năm học 2018

Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 Page | 2

• 0 M Oz x y     , tức là   0;0; . M z

b) Tính chất: Cho bốn điểm không đồng phẳng       ; ; , ; ; , ; ; A A A B B B C C C A x y z B x y z C x y z và   ; ; D D D D x y z .

•   ; ; B A B A B A AB x x y y z z     

.

•       2 2 2 B A B A B A AB AB x x y y z z        

.

• Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là ; ; 2 2 2

A B A B A B x x y y z z I            .

• Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là ; ; 3 3 3

A B C A B C A B C x x x y y y z z z G              .

• Tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD là ; ; 4 4 4

A B C D A B C d A B C D x x x x y y y y z z z z G                 .

3. Tích có hướng của hai vectơ

a) Định nghĩa: Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ     1 2 3 1 2 3 ; ; , ; ; a a a a b b b b    

. Tích có hướng của hai vectơ a 

và b 

là

một vectơ, kí hiệu là ,a b      



và được xác định như sau:

  2 3 3 1 1 2 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 2 3 3 1 1 2

, ; ; ; ;

a a a a a a a b a b a b a b a b a b a b b b b b b b

                     



.

b) Tính chất

• a 

cùng phương với b 

, 0 a b        

 

.

• ,a b      



vuông góc với cả hai vectơ a 

và b 

.

• , , b a a b             

 

.

•   , . .sin ; a b a b a b      

   

.

c) Ứng dụng

• Xét sự đồng phẳng của ba vectơ:

+) Ba véctơ ; ; a b c 

đồng phẳng , . 0 a b c        



.

+) Bốn điểm , , , A B C D tạo thành tứ diện , . 0 AB AC AD        



.

• Diện tích hình bình hành: , ABCD S AB AD      

.

• Tính diện tích tam giác: 1 , 2 ABC S AB AC        



.