50 Câu hỏi về khảo sát hàm số

TỔNG HỢP 50 CÂU HỎI PHỤKHẢO SÁT HÀM SỐ

Bài 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồthịhàm sốy = 2x x−2 biết tiếp tuyến cắt Ox,Oy lần lượt tại A,B mà

tam giác OAB thỏa mãn AB = OA √

2 Giải Cách 1 Gọi M(xo;yo),(xo ̸= 2) thuộc đồthịhàm số. Pt tiếp tuyến d tại M có dạng:

y−2xo

xo −2 = −4 (xo −2)2(x−xo)

Do tiếp tuyến cắt các trục Ox,Oy tại các điểm A,B và tam giác OAB có AB = OA √

2 nên tam giác OAB vuông cân tại O. Lúc đó tiếp tuyến d vuông góc với một trong 2 đường phân giác y = x hoặc y = −x +TH1: d vuông góc với đường phân giác y = x

Có: −4 (xo −2)2 = −1 ⇔(xo −2)2 = 4 ⇔

" xo = 0 ⇒pt d : y = −x (loại) xo = 4 ⇒pt d : y = −x+8 +TH2: d vuông góc với đường phân giác y = −x

Có −4 (xo −2)2.(−1) = −1 pt vô nghiệm.

Vậy có 1 tiếp tuyến thỏa yêu cầu bài toán d : y = −x+8

Cách 2 nhận xét tam giác AOB vuông tại O nên ta có : sin(ABO) = OA

AB = 1 √

2 = sin π

4 nên tam giác AOB vuông cân tại O. phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M = (xo;yo) có dạng :

y = −4 (xo −2)2(x−xo)+ 2xo

xo −2

dễdàng tính được A = x2 o 2 ;0 và B = 0; 2x2 o (xo −2)2

yêu cầu bài toán lúc này tương đương với việc tìm xo là nghiệm của phương trình x2 o 2 = 2x2 o (xo −2)2 ⇔x3 o(xo −4) = 0

+) với xo = 0 ta có phương trình tiếp tuyến là : y = −x (loại) +) với xo = 4 thì phương trình tiếp tuyến là : y = −x+8 Bài 2. Tìm các giá trịcủa m đểhàm sốy = 1

3x3 −1

2m.x2 + m2 −3 x có cực đại x1, cực tiểu x2 đồng thời x1;x2

là độdài các cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độdài cạnh huyền bằng

r

5 2 Giải Cách 1 Mxđ: D = R Có y′ = x2 −mx+m2 −3 y′ = 0 ⇔x2 −mx+m2 −3 = 0 Hàm sốcó cực đại x1 ,cực tiểu x2 thỏa yêu cầu bài toán khi và chỉkhi pt y′ = 0 có 2 nghiệm phân biệt dương, triệt tiêu và đổi dấu qua 2 nghiệm đó

⇔

    

   

∆> 0

S > 0

P > 0

⇔

    

   

4−m2 > 0

m > 0

m2 −3 > 0

⇔

    

   

−2 < m < 2

m > 0

m < − √

3∨m > √

3

⇔ √

3 < m < 2 (∗)

Theo vi-et có:

 

 x1 +x2 = m

x1x2 = m2 −3

Mà x2 1 +x2 2 = 5

2 ⇔2(x1 +x2)2 −4x1x2 = 5 ⇔2m2 −4(m2 −3) = 5 ⇔m = ±

√

14 2

1

www.MATHVN.com

www.mathvn.com

Đối chiếu đk (*) ta có giá trịm =

√

14 2 thỏa yêu cầu bài toán

Bài 3. Tìm tất cảcác giá trịm sao cho trên đồthị(Cm) : y = 1

3mx3 +(m−1)x2 +(4−3m)x+1 tồn tại đúng 2

điểm có hoành độdương mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng (L) : x+2y−3 = 0.

Giải Cách 1: Có y′ = mx2 +2(m−1)x+4−3m

Từyêu cầu bài toán dẫn đến pt: y′ · −1

2

= −1 có đúng 2 nghiệm dương phân biệt

⇔mx2 +2(m−1)x+2−3m = 0 có 2 nghiệm dương phân biệt.

⇔

      

     

m ̸= 0

∆′ > 0

S > 0

P > 0

⇔

       

      

m ̸= 0

4m2 −4m+1 > 0 m−1

m < 0 2−3m

m > 0

⇔

       

      

m ̸= 0

m ̸= 1

2 0 < m < 1

0 < m < 2

3

⇔



 0 < m < 1

2 1 2 < m < 2

3

Vậy m ∈ 0; 1

2

∪ 1

2; 2

3

là các giá trịcần tìm của m

Cách 2: Có y′ = mx2 +2(m−1)x+4−3m

Từyêu cầu bài toán dẫn đến pt: y′ · −1

2

= −1 có đúng 2 nghiệm dương phân biệt ⇔mx2 +2(m−1)x+

2−3m = 0 (1) có 2 nghiệm dương phân biệt Th1: m = 0 từ(1) ta có x = −1 (loại)

Th2: m = 1

2 từ(1) ta có x = ±1 (loại)

Th3: m ̸= 0;m ̸= 1

2 từpt (1) có 2 nghiệm x = 1∨x = 2−3m

m Điều kiện bài toán dẫn đến: :2−3m

m > 0 ⇔0 < m < 2

3

Kết hợp với cả3 trường hợp trên ta có giá trịm cần tìm:m ∈ 0; 1

2

∪ 1

2; 2

3

Bài 4. Viết phương trình đường thẳng d cắt đồthị(C) :y = x3 −3x + 2 tại 3 điểm phân biệt A,B,C sao cho xA = 2 và BC = 2 √

2 Giải Với xA = 2 ⇒yA = 4 VậyA(2;4) Xem d là đường thẳng đi qua A và có hệsốgóc là k. Có pt d : y−yA = k(x−xA) ⇔y = kx−2k +4 Phương trình hoành độgiao điểm của (C) và đường thẳng d : x3 −3x+2 = kx−2k +4 ⇔(x−2)(x2 +2x+1−k) = 0 ⇔x = 2 hay g(x) = x2 +2x+1−k = 0 (∗) Đểd cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A,B,C thì pt(∗) phải có 2 nghiệm phân biệt xB;xC phân biệt và khác 2:

Lúc đó :⇔

 

 ∆′ = k > 0

g(2) = 9−k ̸= 0 ⇔0 < k ̸= 9 (∗′)

Theo vi-et ta có :

 

 xB +xC = −2

xB.xC = 1−k . Mà B,C thuộc d nên yB = kxB −2k +4;yC = kxC −2k +4

Có BC = 2 √

2 ⇔BC2 = 8 ⇔(xB −xC)2 +k2(xB −xC)2 = 8 ⇔ (xB +xC)2 −4xBxC (1+k2) = 8 …