35 bài tập Tích phân chứa căn thức có lời giải Trần Sĩ Tùng

Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng

Trang 4

TP2: TÍCH PHÂN HÀM SỐ VÔ TỈ

Dạng 1: Đổi biến số dạng 1

Câu 1. x I dx x x2 3 9 1 

  

 x I dx x x x dx x dx x x dx x x

2 2 2

2 (3 9 1) 3 9 1 3 9 1             

+ I x dx x C 2 3 1 1 3     + I x x dx 2 2 9 1    x d x x C

3 2 2 2 2

2 1 1 9 1 (9 1) (9 1) 18 27       

 I x x C

3 2 3 2 1 (9 1) 27    

Câu 2. x x I dx x x

2

1

 

 

 x x dx x x

2

1



  x x dx dx x x x x

2

1 1       .

+ x I dx x x

2

1

1 

  . Đặt t= x x t x x 2 1 1    x t 3 2 2 ( 1)    x dx t t dt 2 2 4 ( 1) 3   

 t dt t t C 2 3 4 4 4 ( 1) 3 9 3      =   x x x x C 3

1 4 4 1 1 9 3    

+ x I dx x x 2

1 

  = d x x

x x

2 (1 ) 3 1



  = x x C2 4 1 3  

Vậy:   I x x C 3 4 1 9   

Câu 3. x I dx x

4

0

2 1

1 2 1

 

    Đặt t x 2 1   . I = t dt t

3 2

1

2 ln2 1    .

Câu 4. dx I

x x

6

2 2 1 4 1 

    Đặt t x 4 1  . I 3 1 ln 2 12  

Câu 5. I x x dx 1

3 2

0

1     Đặt: t x2 1      I t t dt 1

2 4

0

2 15     .

Câu 6. x I dx x

1

0

1

1

 

 

 Đặt t x   dx t dt 2 .  . I = t tdt t

1 3

0 2 1    = t t dt t

1

2

0

2 2 2 1           = 11 4ln2 3  .

Câu 7. x I dx x x

3

0

3

3 1 3

 

  

Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân

Trang 5

 Đặt t x tdu dx 1 2      t t I dt t dt dt t t t

2 2 2 3

2 1 1 1

2 8 1 (2 6) 6 1 3 2

          

3 3 6ln 2 

Câu 8. I x x dx 0

3

1

. 1

   

 Đặt t t t x t x dx t dt I t dt

1 1 7 4 3 2 3 3

0 0

9 1 1 3 3( 1) 3 7 4 28

                 

Câu 9. x I dx x x

5 2

1

1

3 1

 

 

 Đặt tdt t x dx 2 3 1 3     

t

tdt I

t t

2 2

4

2 2

1 1 3 2 . 3 1. 3

          

  dt t dt

t

4 4 2

2 2 2

2 ( 1) 2 9 1   

  

t t t t

3 4 4 2 1 1 100 9 ln ln . 9 3 1 27 5 2 2

            

Câu 10. x x I dx x

3 2

0

2 1

1

  

 

 Đặt x t x t2 1 1      dx tdt 2 

 t t t I tdt t t dt t t

2 2 2 2 2 2 5 4 2 3

1 1 1

2( 1) ( 1) 1 4 54 2 2 (2 3 ) 2 5 5

                 

Câu 11. x dx I

x x

1 2

0 2

( 1) 1 

  

 Đặt t x t x tdt dx 2 1 1 2      

t t I tdt t dt t t t t

2 2 2 2 2 2 3

3 1 1 1

( 1) 1 1 16 11 2 .2 2 2 2 3 3

                       

Câu 12.

 

x I dx x

4

2 0

1

1 1 2

 

  

 Đặt dx t x dt dx t dt x 1 1 2 ( 1) 1 2        

và t t x

2 2 2  

Ta có: I = t t t t t t dt dt t dt t t t t

4 4 4 2 3 2

2 2 2 2 2 2

1 ( 2 2)( 1) 1 3 4 2 1 4 2 3 2 2 2

                  

= t t t t

2 1 2 3 4ln 2 2

          

= 1 2ln2 4 

Câu 13. x I dx x

8

2 3

1

1

 

 

Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng

Trang 6

 x I dx x x

8

2 2 3

1

1 1

             =   x x x

8 2 2

3 1 ln 1        =     1 ln 3 2 ln 8 3    

Câu 14. I x x x dx 1

3 2

0

( 1) 2    

 I x x x dx x x x x x dx 1 1 3 2 2 2

0 0 ( 1) 2 ( 2 1) 2 ( 1)           . Đặt t x x2 2    I 2 15  .

Câu 15. x x x I dx x x

2 3 2

2 0

2 3

1

  

  

 x x x I dx x x

2 2

2 0

( )(2 1)

1

  

   . Đặt t x x 2 1    I t dt 3

2

1

4 2 ( 1) 3      .

Câu 16. x dx I

x

2 3

3 2 0 4 

 

 Đặt t x x t xdx t dt 3 2 2 3 2 4 4 2 3         I t t dt

3

2

4 3

4

3 3 8 ( 4 ) 4 2 2 2 5

          

Câu 17. dx I

x x

1

2 11 1  

   

 Ta có: x x x x I dx dx x x x

1 1 2 2

2 2 1 1

1 1 1 1 2 (1 ) (1 )  

             x dx dx x x

1 1 2

1 1

1 1 1 1 2 2  

           

+ I dx x x x

1

1 1 1 1

1 1 1 1 ln | 1 2 2  

               

+ x I dx x

1 2

2

1

1

2 

  . Đặt t x t x tdt xdx 2 2 2 1 1 2 2        I2= t dt

t

2 2

2 2

0 2( 1)

  

Vậy: I 1 .

Cách 2: Đặt t x x2 1    .

Câu 18.   x x I dx x

1 3 3 1

4 1 3

   Ta có: I dx x x

1 1 3

2 3 1 3

1 1 1 .          . Đặt t

x2

1 1 …