31 bài tập Tích phân tổ hợp nhiều hàm số có lời giải Trần Sĩ Tùng

Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng

Trang 34

TP5: TÍCH PHÂN TỔ HỢP NHIỀU HÀM SỐ

Câu 1. x x I x e dx x

3 1 4 2

0 1

           

 x x I x e dx dx x

3 1 1 4 2

0 01  

   .

+ Tính x I x e dx

3 1

2 1

0  . Đặt t x3   t t I e dt e e 1 1

1 0 0

1 1 1 1 3 3 3 3      .

+ Tính x I dx x

1 4

2

01 

  . Đặt t x 4   t I dt t

1 4

2 2 0

2 4 4 3 4 1

            

Vậy: I e 1 3 3    

Câu 2. x x I x e dx x

2 2

3 1

4            

 x I xe dx 2

1  + x dx x

2 2

2 1

4   .

+ Tính x I xe dx e 2

2 1

1    + Tính x I dx x

2 2

2 2 1

4   . Đặt x t 2sin  , t 0; 2

      .

 t I dt t t t

2 2

2 2 2

6 6

cos ( cot ) sin





      = 3 3  

Vậy: I e2 3 3     .

Câu 3.   x x I e x x dx x

1

2 2 2

2 0

. 4 . 4     

 x x I xe dx dx I I x

1 1 3 2

1 2 2 0 0 4       

+ Tính x e I xe dx 1 2 2 1

0

1 4

   

+ Tính x I dx x

1 3

2 2 0 4 

  . Đặt t x2 4    I2

16 3 3 3  

 e I

2 61 3 3 4 12   

Câu 4. x x I e dx x

1 2

2 0

1

( 1)

 

 

Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân

Trang 35

 Đặt t x dx dt 1    t t t t I e dt e dt t t t

2 2 2

1 1 2 2 1 1

2 2 2 2 1                 = e e e e

2 2 1 1 2

           

Câu 5.

x x e dx I

x

2 3 3 1

2 0

.

1

 

 

 Đặt t x dx tdt 2 1      t I t e dt 2

2

1

( 1)   

t t t e dt e J e e 2

2 2

1

2 ( ) 1      

+ t t t t t t t J t e dt t e te dt e e te e dt e e te e 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1

2 2 2 2 4 2 4 2( ) 1 1 1

                   

Vậy: I e2 

Câu 6. x x x I dx x

2 3

2 ln( 1)

1

  

 

 Ta có: x x x x x x x x f x x x x x x

2 2 2

2 2 2 2 ln( 1) ( 1) ln( 1) ( )

1 1 1 1

            

 F x f x dx x d x xdx d x 2 2 2 1 1 ( ) ( ) ln( 1) ( 1) ln( 1) 2 2           

= x x x C 2 2 2 2 1 1 1 ln ( 1) ln( 1) 4 2 2      .

Câu 7.   x x x I dx x

4 2 3

2 0

ln 9 3

9

   

 

     x x x x x x I dx dx dx I I x x x

4 4 4 2 3 2 3

1 2 2 2 2 0 0 0

ln 9 3 ln 9 3 3 9 9 9

               

+ Tính   x x I dx x

4 2

1 2 0

ln 9

9

  

  . Đặt   x x u 2 ln 9     du dx x2

1

9 



 u I udu ln9 2 2 2

1

ln3

ln 9 ln 3 ln9 ln3 2 2     

+ Tính x I dx x

4 3

2 2 0 9 

  . Đặt x v 2 9    x dv dx x v x

2 2

2 , 9 9    

 u I u du u 5 3 2 2

3

44 5 ( 9) ( 9 ) 3 3 3      

Vậy   x x x I dx I I x

4 2 3 2 2

1 2 2 0

ln 9 3 ln 9 ln 3 3 44 2 9

           .

Câu 8.

e x x x I dx x x

3 2

1

( 1)ln 2 1 2 ln      



e e x I x dx dx x x

2

1 1

1 ln 2 ln       . +

e e x e x dx

3 3 2

1 1

1 3 3

   

Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng

Trang 36

+

e e e x d x x dx x x x x x x 1 1 1

1 ln (2 ln ) ln 2 ln 2 ln 2 ln          e 2 ln 2   . Vậy: e e I

3 1 2 ln 3 2     .

Câu 9.

e x I dx x x

3 3

1

ln

1 ln 

 

 Đặt dx t x x t tdt x

2 1 ln 1 ln 2       và x t 3 2 3 ln ( 1)  

 t t t t I dt = dt t t t dt t t t

2 2 2 2 3 6 4 2

5 3

1 1 1

( 1) 3 3 1 1 ( 3 3 )            

15 ln2 4  

Câu 10.

4

2 0

sin cos





x x I dx x

 Đặt

u x du dx x dv dx v x x 2 sin 1 cos cos

             

 x dx dx I x x x

4 4 4

0 0 0

2 cos cos 4 cos

  

      

+ dx xdx I x x

4 4

1 2 0 0

cos cos 1 sin

 

 

   . Đặt t x sin   dt I

t

2 2

1 2 0

1 2 2 ln 2 2 2 1

  

  

Vậy: 2 1 2 2 ln 4 2 2 2

   



Câu 11.

4 3

2 1

ln(5 ) . 5    

x x x I dx x

 Ta có:

4 4

2 1 1

ln(5 ) 5 .         x I dx x x dx K H x .

+ x K dx x

4

2 1

ln(5 )   . Đặt

u x dx dv

x2

ln(5 )     

 K 3 ln4 5 

+ H= x x dx 4

1

5 .   . Đặt t x 5    H 164

15 

Vậy: I 3 164 ln4 5 15  

Câu 12. I x x x dx

0

2

2 (2 ) ln(4 )         

 Ta có: I x x dx 2

0

(2 )    + x dx 2

2

0

ln(4 )   = I I 1 2 

+ I x x dx x dx 2 2

2 1

0 0 (2 ) 1 ( 1) 2          …