Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao Phạm Minh Tuấn

Bài 1: Cho số phức z thỏa mãn 1 z . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị

nhỏ nhất của biểu thức 2 1 1 P z z z      . Tính giá trị của M.n

A. 13 3 4 B. 39 4 C. 3 3 D. 13 4 Cách 1:

Re( )z là phần thực của số phức z, Im(z) là phần ảo của số phức z, 1 . 1   z z z

Đặt 1 t z   , ta có: 0 1 1 1 2 0;2 z z z t         

   

2 2 2 1 1 1 . 2 2Re( ) Re( ) 2 t t z z z z z z z z           

 2 2 2 1 . 1 3 z z z z z z z z z t         

Xét hàm số: 

2 3 , 0;2 f t t t t      . Xét 2 TH:

  13 4 Maxf t  ;  3 Minf t  13 3 . 4 M n  

Cách 2:    cos sin z r x i x a bi    

Do

2

2 2 . 1 1 1

z z z z r a b

        

 2 2cos 2cos 1 P x x    , đặt   cos 1;1 t x    2 2 2 1 f t t t     

TH1: 1 1; 2 t       



 



1 3 1 ' 2 0 1 3 2 2 2

maxf t f f t minf t f t

                  

TH1: 1 ;1 2       t

  1 7 7 13 ' 2 0 8 8 4 2 2 f t t maxf t f t               

  13 4 Maxf t  ;  3 Minf t  13 3 . 4 M n  

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao

Biên soạn: Phạm Minh Tuấn - TOANMATH.com

Bài 2: Cho số phức z thỏa mãn 3 4 5 z i   . Gọi M và m là giá trị lớn nhất và giá trị

nhỏ nhất của biểu thức

2 2 2 P z z i     . Tính module số phức w M mi   .

A. 2 314 w  B. 1258 w  C. 3 137 w  D. 2 309 w 

Cách 1:

 4 3 4 2 3 2 P x P x y y      

       

2 2 2 2 4 3 3 4 5 3 4 5 3 4 5 2 P x z i x y x f x                            ' 8 3 8 4 11 0 0,2 1,6 0,1 1,7 f x x P x x P y P            

Thay vào  f x ta được:     2 2 33 0,2 1,6 3 0,1 1,7 4 5 0 13 P P P P            

Cách 2:

      2 2 3 4 5 3 4 5: z i x y C       

( ):4 2 3 0 x y P    

Tìm P sao cho đường thẳng  và đường tròn  C có điểm chung

  ; 23 10 13 33 d I R P P        

Vậy 33 MaxP  ; 13 MinP 

 33 13 1258 w i w    

Bài 3: Cho số phức z thỏa mãn 1  z . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 2 1 P z z    

.

A. max 2 5  P B. max 2 10  P C. max 3 5  P D. max 3 2  P

Giải: Theo BĐT Bunhiacopxki:

     

2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 1 10 1 2 5 P z z z z z            

Bài 4: Cho số phức z x yi     ,x y R  thỏa mãn 2 4 2 z i z i     và m min z  . Tính

module số phức   w m x y i    .

A. 2 3 w  B. 3 2 w  C. 5 w  D. 2 6 w 

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao

Biên soạn: Phạm Minh Tuấn - TOANMATH.com