Bài toán cực trị số phức

1

CỰC TRỊSỐPHỨC VÀ HÌNH HỌC

Câu 1. Cho sốphức z thỏa mãn điều kiện |z −1 −i| + |z + 1 + 3i| = 6 √

5. Giá trịlớn nhất của

|z −2 −3i| là

A 5 √

5. B 2 √

5. C 6 √

5. D 4 √

5.

Hướng dẫn giải

Ta có |z −1 −i| + |z + 1 + 3i| = 6 √

5 ⇔MA + MB = 6 √

5 với M(x; y)

biểu diễn sốphức z = x + yi, A(1; 1) biểu diễn sốphức 1 + i, B(−1; −3)

biểu diễn sốphức −1 −3i.

Khi đó điểm M nằm trên elip tâm I có độdài trục lớn 6 √

5 và A, B là

hai tiêu điểm.

A B C I M′

M

• |z −2 −3i| = MC với C(2; 3) biểu diễn sốphức 2 + 3i.

• # » AB = (−2; −4) ⇒AB = 2 √

5.

• # » AC = (1; 2) ⇒AC = √

5.

• Vì # » AB = −2# » AC nên # » AB, # » AC ngược hướng và AB = 2AC.

Gọi M′ là điểm nằm trên elip sao cho A, B, M′ thẳng hàng và M′ khác phía A so với B.

Ta có BM′ = 6 √

5 −AB

2 = 2 √

5.

Ta thấy MC ≤M′C với mọi điểm M nằm trên elip.

Do đó MC lớn nhất khi và chỉkhi M ≡M′.

Khi đó MC = M′C = CA + AB + BM′ = √

5 + 2 √

5 + 2 √

5 = 5 √

5.

Chọn đáp án A □

Câu 2. Cho sốphức z thỏa mãn |z + 1| + |z −3 −4i| = 10. Giá trịnhỏnhất Pmin của biểu thức

P = |z −1 + 2i| bằng

A Pmin = √

17. B Pmin = √

34. C Pmin = 2 √

10. D Pmin = √

34 2 .

Hướng dẫn giải

Đặt z = x + yi, điểm biểu diễn của z là M(x; y).

Khi đó |z + 1| + |z −3 −4i| = 10 ⇔MA + MB = 10 với A(−1; 0) và B(3; 4).

Suy ra M thuộc elip có độdài trục lớn là 10 ⇒2a = 10 ⇒a = 5 và hai tiêu điểm là A, B.

Mà # » AB = (4; 4) ⇒AB = 4 √

2 ⇒2c = 4 √

2 ⇒c = 2 √

2.

Ta có

P = |z −1 + 2i|

= q

(x −1)2 + (y −2)2 = MH

2

Với H(1; 2). Dễthấy A, B, H thẳng hàng nên H thuộc đoạn AB.

Do đó Pmin ⇔MH ngắn nhất khi và chỉkhi M thuộc trục nhỏcủa elip.

Khi đó độdài MH bằng một nửa trục nhỏhay MH = b = √

a2 −c2 = √

17.

Chọn đáp án A □

Câu 3. Cho các sốphức z, w thỏa mãn |z −5 + 3i| = 3, |iw + 4 + 2i| = 2. Tìm giá trịlớn nhất của

biểu thức T = |3iz + 2w|.

A

√

554 + 5. B

√

578 + 13. C

√

578 + 5. D

√

554 + 13.

Hướng dẫn giải

O I A B 9 4

Ta có |z −5 + 3i| = 3 ⇔ 3iz −15i −9

3i

= 3 ⇔|3iz −9 −15i| = 9.

|iw + 4 + 2i| = 2 ⇔ −i

2 (−2w −4 + 8i) = 2 ⇔| −2w −4 + 8i| = 4.

Gọi A và B là điểm biểu diễn của 3iz và −2w, khi đó A và B lần lượt thuộc các đường tròn tâm

O(9; 15) bán kính bằng 9 và đường tròn I(4; −8) bán kính bằng 4. Ta tính được OI = √

554.

Khi đó T = |3iz + 2w| = |3iz −(−2w)| = AB.

Do IO = √

554 > 4+ 9 nên hai đường tròn ngoài nhau, suy ra ABmax = AO +OI + IB = √

554+ 13. Chọn đáp án D □

Câu 4. Xét sốphức z thỏa mãn |iz −2i −2| −|z + 1 −3i| = √

34. Tìm giá trịnhỏnhất của biểu thức

P = |(1 + i)z + 2i|.

A Pmin = 9 √

17 . B Pmin = 3 √

2. C Pmin = 4 √

2. D Pmin = √

26.

Hướng dẫn giải

Giảsửsốphức z có dạng z = a + bi, z có biểu diễn hình học là điểm M(a; b). Khi đó

|iz −2i −2| −|z + 1 −3i| = √

34 ⇔ q

(b + 2)2 + (a −2)2 − q

(a + 1)2 + (b −3)2 = √

34. (1)

Gọi điểm A(2; −2), B(−1; 3) khi đó ta có AB = √

34. Kết hợp với (1) ta suy ra MA −MB = AB. ⇒

Điểm M trùng với điểm B hoặc B là trung điểm của MA. Ta xét hai trường hợp sau:

• TH1: M trùng B ⇒M(−1; 3). Suy ra

P = q

(a −b)2 + (a + b + 2)2 = √

32 = 4 √

2.

• TH2: B là trung điểm của MA ⇒M(−4; 8). Suy ra

P = q

(a −b)2 + (a + b + 2)2 = √

180 = 6 √

5.