Hiểu rõ bản chất hình học của bài toán cực trị tọa độ không gian Võ Trọng Trí

1 VÕ TRỌNG TRÍ- NGHỆ AN

HIỂU RÕ BẢN CHẤT HÌNH HỌC CỦA BÀI TOÁN CỰC TRỊ TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN ĐỂ GIẢI NHANH BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM.

Để giải nhanh bài toán cực trị trong hình học tọa độ không gian, chúng ta cần tìm được vị trí đặc biệt của nghiệm hình để cực trị ( số đo góc, khoảng cách, độ dài ) xảy ra. Khi biết vị trí đặc biệt đó, việc tính toán chỉ còn vài dòng đơn giản là ra kết quả. Sau đây các các bài toán cực trị thường gặp , bản chất hình học của nó và công thức giải nhanh bài toán đó.

Bài toán 1: Viết phương trình mặt phẳng đi qua một đường thẳng d và cách một điểm M d ∉ một khoảng lớn nhất.

Giải: Gọi hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng và d lần lượt là H, K. Ta có khoảng cách từ M đến mặt phẳng là đoạn

MH MK ≤ . Vậy MH lớn nhất khi và chỉ khi H trùng K. Hay mặt phẳng chứa d và vuông góc với mặt phẳng chứa M và d.

Mặt phẳng cần tìm có véc tơ pháp tuyến ; , d d n u AM u     =    

,

trong đó A d ∈ .

Ví dụ 1: Viết phương trình mp chứa đường thẳng 1 2 : 2 1 1 x y z d − + = = −

và cách ( ) 2;1;1 M một khoảng

lớn nhất.

Giải: Ta có ( ) ( ) 2;1; 1 , 1;0; 2 du A = − = −

( ) 1;1;3 AM ⇒ =

. Vậy ( ) ; , 6; 6; 18 d d n u AM u     = = − − −    

.

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là: ( ) ( ) 1 3 2 0 3 5 0 x y z x y z − + + + = ⇔ + + + = .

Ví dụ 2: Viết phương trình mp đi qua điểm ( ) 1; 2;1 A − , song song với đường thẳng 1 : 2 2 x y d z − = = và

cách gốc tọa độ một khoảng lớn nhất.

Gợi ý: ; , d d n u OA u     =    

, phương trình mặt phẳng 11 16 10 53 0 x y z − + − =

Ví dụ 3. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua O, vuông góc với mặt phẳng ( ): 2 1 0 Q x y z − + −= và

cách điểm 1 ;0;2 2 M      

một khoảng lớn nhất.

Gợi ý: Bản chất mp cần tìm vẫn đi qua đường thẳng cố định qua O và vuông góc với (P). Nến véc tơ

pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm là ( ) ( ) , ; Q Q n n OM n     =    

.

Ví dụ 4: Tìm a để khoảng cách từ ( ) 1;2; 2 M − đến mặt phẳng

( ) ( ) ( ) : 1 2 3 1 0 P a x a y az a − + − + + − = lớn nhất.

d

M

H K

2 VÕ TRỌNG TRÍ- NGHỆ AN

Gợi ý: Ta có thể áp dụng công thức khoảng cách trực tiếp hoặc mp đã cho chứa đtường thẳng cố đinh là 2 1 0 : 3 1 0

x y d x y z

− + =  −− + −=  , ( ) 2;1;5 d u =

và đi qua ( ) 1;0;0 A − , do đó khoảng cách lớn nhất khi và chỉ khi

; ; P d d n u AM u     =    

, từ đó ta tìm được a=2.

Bài toán 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d, tạo với đường thẳng d’( d’ không song song với d) một góc lớn nhất.

Giải: Lấy K là điểm thuộc d, vẽ đường thẳng KM song song với d’. Gọi H và I là hình chiếu vuông góc của M trên (P) và

d. Khi đó ( ) ( ) sin '; cos MH MI d P KMH KM KM = = ≤ . Vậy góc

giữa d và (P) lớn nhất khi và chỉ khi H trùng I, hay (P) là mặt

phẳng nhận véc tơ IM

làm véc tơ pháp tuyến, hay (P) là mặt phẳng chứa d và vuông góc với mặt phẳng chứa d , song song với d’.

Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) P cần tìm là ' ; ; d d d n u u u     =    

.

Ví dụ 5: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa 1 1 2 : 2 1 2 x y z d − + − = = và tạo với đường thẳng

1 1 : 1 2 1 x y z d + − ′ = = một góc lớn nhất.

Giải: Ta có ( ) ' ; ; 3; 12;3 d d d n u u u     = = −    

. (P) đi qua điểm ( ) 1; 1;2 A − nên có phương trình

( ) ( ) ( ) 1 4 1 2 0 4 7 0 x y z x y z − − + + − = ⇔ − + − = .

Ví dụ 6: Viết phương trình mặt phẳng đi qua O và vuông góc với mặt phẳng ( ): 2 1 0 P x y z + − −= và

tạo với trục Oy một góc lớn nhất.

Gợi ý: Bản chất không thay đôi, mặt phẳng cần tìm có véc tơ pháp tuyến ( ) ; ; 2;5;1 P P n n j n     = = −    

.

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là 2 5 0 x y z − − = .

Ví dụ 7: Viết phương trình mặt phẳng đi qua O, song song với đường thẳng 1 2 : 2 1 3 x y z d − − = = và tạo

với mặt phẳng ( ): 2 1 0 P x y z + − + = một góc nhỏ nhất.

Gợi ý: Bản chất Bài toán toán vẫn là tìm phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng a ( qua O và song song với d) và tạo với đường thẳng b vuông góc với mp(P) một góc lớn nhất. Vậy véc tơ pháp tuyến mp

(P)

d'

d

M

H K I