Phương pháp tọa độ trong không gian trong các đề thi thử THPTQG môn Toán

https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Hình học giải tích 12

NỘI DUNG CÂU HỎI

Câu 1. Trong không gian với hệtrục tọa độOxyz, hình chiếu vuông góc của điểm M(2; 3; 4) trên

mặt phẳng (P): 2x −y −z + 6 = 0 là điểm nào dưới đây?

A. (2; 8; 2). B. Å 1; 7

2; 9

2

ã . C. Å 3; 5

2; 7

2

ã . D. (1; 3; 5).

Lời giải.

Gọi ∆là đường thẳng đi qua M và vuông góc mặt phẳng (P). Khi đó phương trình tham sốcủa ∆

là

   

  

x = 2 + 2t

y = 3 −t

z = 4 −t

, t ∈R.

Gọi M ′ là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (M). Tọa độđiểm M ′ là nghiệm của hệ

phương trình

      

     

x = 2 + 2t

y = 3 −t

z = 4 −t

2x −y −z + 6 = 0.

⇔

         

        

t = −1

2 x = 1

y = 7

2

z = 9

2.

Vậy M ′ Å 1; 7

2; 9

2

ã

Chọn đáp án B □

Câu 2. Trong không gian với hệtrục tọa độOxyz, mặt phẳng (P): 2x + 6y + z −3 = 0 cắt trục

Oz và đường thẳng d: x −5

1 = y

2 = z −6

−1 lần lượt tại A và B. Phương trình mặt cầu đường kính

AB là

A. (x + 2)2 + (y −1)2 + (z + 5)2 = 36. B. (x + 2)2 + (y −1)2 + (z + 5)2 = 9. C. (x −2)2 + (y + 1)2 + (z −5)2 = 36. D. (x −2)2 + (y + 1)2 + (z −5)2 = 9.

Lời giải.

Do điểm A ∈Oz nên suy ra A(0; 0; c), mà ta lại có A ∈(P) nên suy ra c = 3. Do đó A(0; 0; 3).

Phương trình tham sốcủa đường thẳng d là

   

  

x = 5 + t

y = 2t

z = 6 −t

, t ∈R.

Tọa độđiểm B là nghiệm hệphương trình

      

     

x = 5 + t

y = 2t

z = 6 −t

2x + 6y + z −3 = 0.

⇔

      

     

t = −1

x = 4

y = −2

z = 7 Do đó B(4; −2; 7).

Gọi I là tâm mặt cầu đường kính AB nên I là trung điểm AB, suy ra I(2; −1; 5).

Ta có # » AB = (4; −2; 4) suy ra AB = p

42 + (−2)2 + 72 = 6 nên bán kính mặt cầu là R = AB

2 = 3.

Phương trình mặt cầu là (x −2)2 + (y + 1)2 + (z −4)2 = 9. Chọn đáp án D □

Câu 3. Trong không gian với hệtrục tọa độOxyz, cho đường thẳng d: x −2

1 = y + 3

−2 = z + 1

1 .

Véc-tơ nào trong các véc-tơ dưới đây không phải là véc-tơ chỉphương của đường thẳng d?

Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 2 https://emncischool.wixsite.com/geogebra

https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Hình học giải tích 12

A. #» u4 = (1; 2; 1). B. #» u3 = (−1; 2; −1). C. #» u2 = (2; −4; 2). D. #» u1 = (−3; 6; −3).

Lời giải.

Đường thẳng d có 1 véc-tơ chỉphương là #» u2 = (1; −2; 1). Do đó véc-tơ #» u4 = (1; 2; 1) không là véc-tơ

chỉphương của d.

Chọn đáp án A □

Câu 4. Trong không gian với hệtrục tọa độOxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x + 3y −z −1 = 0 và

(β): 4x + 6y −mz −2 = 0. Tìm m đểhai mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau.

A. Không tồn tại m. B. m = 1. C. m = 2. D. m = −2.

Lời giải.

Mặt phẳng (α) có vectơ pháp tuyến #» n1 = (2; 3; −1).

Mặt phẳng (β) có vectơ pháp tuyến #» n2 = (4; 6; −m).

Để(α) ∥(β) khi: 2

4 = 3

6 = −1

−m ̸= −1

−2. Không tồn tại m.

Chọn đáp án A □

Câu 5. Trong không gian với hệtrục tọa độOxyz, cho hai vectơ #»u = (1; −2; 1) và #»v = (2; 1; −1).

Vectơ nào dưới đây vuông góc với cảhai vectơ #»u và #»v ?

A. # » w1 = (1; −3; 5). B. # » w4 = (1; 4; 7). C. # » w3 = (1; −4; 5). D. # » w2 = (1; 3; 5).

Lời giải.

Vectơ vuông góc với cảhai vectơ #»u và #»v là vectơ [#»u, #»v ] = (1; 3; 5).

Chọn đáp án D □

Câu 6. Trong không gian với hệtrục Oxyz, cho mặt cầu (S): (x + 2)2 + (y −4)2 + (z −1)2 = 99

và điểm M(1; 7; −8). Qua điểm M kẻcác tia Ma, Mb, Mc đôi một vuông góc nhau và cắt mặt cầu tại điểm thứhai tương ứng là A, B, C. Biết rằng mặt phẳng (ABC) luôn đi qua một điểm cốđịnh

K(xk; yk; zk). Tính giá trịP = xk + 2yk −zk.

A. P = 11. B. P = 5. C. P = 7. D. P = 12.

Lời giải.

Mặt cầu (S) có tâm I(−2; 4; 1), bán kính R = √

99.

Ta có M(1; 7; −8) ∈(S).

Xét hình hộp chữnhật AHPQ.MBDC. Gọi J = MD ∩BC , K = MP ∩AJ ⇒K ∈(ABC).

Rõ ràng, tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứdiện MABC

là trung điểm của đoạn MP (cũng là tâm của (S)).

Mặt khác K là trọng tâm của tam giác MAD hay # » MK = 2 3 # » MI. Vì M, I cốđịnh nên K cốđịnh. Vậy K chính là

điểm cốđịnh mà mặt phẳng (ABC) luôn luôn đi qua.

Ta có # » MK = 2

3 # » MI …