Bài toán logarit qua nhiều góc nhìn

LUYỆN ĐỀ ĐH 2020

MINH CHUNG – DƯƠNG ĐÌNH TUẤN

Lời nói đầu

Lâu rồi thì mình mới bắt tay vào viết một cái gì đó, cũng có dự định viết về logarit lâu lắm rồi nhưng mãi đến bây giờ mới có cơ hội để thử viết về nó. Hồi còn hoạt động mạnh trong nhóm Luyện đề ĐH 2019 ( nay là luyện đề ĐH 2020 ) thì hầu như gặp bài logarit khó nào mình đều quyết tâm giải ra bằng được và không chỉ dừng lại ở việc giải ra mình còn cố tìm ra nhiều hướng giải nhất có thể. Và đến hôm nay, trong lúc nghỉ dịch mình quyết định sẽ viết một chút về logarit tặng các bạn 2k2 trong mua thi khó khăn này. Hy vọng nó sẽ giúp ích được cho các bạn. Có một điều trong cuốn tài liệu này đó là nó không phải là tổng hợp những bài toán logarit hay nhất mà nó bao gồm những bài toàn logarit mang đến những tư duy hay nhất. Vì vậy hãy đọc nó một cách khéo léo.

Lưu ý mình điều là mình không phải giáo viên nên mọi lời giản trong này ít nhiều có đôi chỗ không đúng với thuần tự luận hay những lí thuyết sgk vì vậy các bạn chỉ nên đọc tham khảo là chính.

LUYỆN ĐỀ ĐH 2020

MINH CHUNG – DƯƠNG ĐÌNH TUẤN

Câu 1: Trong các nghiệm   ;x y thỏa mãn bất phương trình   2 2 2 log 2 1 x y x y   . Giá trị lớn

nhất của biểu thức 2 T x y   bằng

A. 9

4 B. 9

2 C. 9

8 D. 9

Lời giải:

Chọn B

Góc nhìn 1.

TH1:

2 2 2 1 x y   Đặt 2y z   2 2 1 1 x z   

  2 2

2 2 2 log 2 1 2 2 x y x y x y x y      

2 2 2

2 z x x z    

  

2 2 1 9 1 2 8 2 2 x z           

Tập hợp các điểm   ; M x z là miền   H bao gồm miền ngoài của hình tròn  

2 2 1 : 1 C x z   và

miền trong của hình tròn   

2 2 2

1 9 : 1 8 2 2 C x z          

Hệ  

2 2

2 2

2 2

1 9 1 8 2 2

1

z T x

x z

x z

                      

có nghiệm khi đường thẳng :2 0 2 z d x T    có điểm chung

với miền   H

LUYỆN ĐỀ ĐH 2020

MINH CHUNG – DƯƠNG ĐÌNH TUẤN

Để T đạt Max thì :2 0 2 z d x T    tiếp xúc với đường tròn   2 C

1 2 3 4

1 2 2 4 2

T     

9 9 4 4 T   

 0

9 2

T L

T

    

TH2:

2 2 0 2 1 x y   

LUYỆN ĐỀ ĐH 2020

MINH CHUNG – DƯƠNG ĐÌNH TUẤN

  2 2 2 log 2 1 x y x y   

2 2 2 2 x y x y     2 1 T x y L    

Vậy GTLN của 2 T x y   là 9

2

Góc nhìn 2.

TH1:

2 2 2 1 x y   2 2 2 1 T x y   

TH2:

2 2 2 1 x y   2 2 2 T x y  

  2 2 1 1 1 1 2 8 8 T x y                

2 2 9 2 4 2

BCS y T x T           

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

4

9 2 2

x y

x y

    

Góc nhìn 3.

BPT   

2 2 2 2

2 2 2 2 2 1 0 2 1 , 2 2 0 2 2

x y x y I II x y x y x y x y

                     

Xét 2 T x y  

TH1:   ;x y thỏa mãn   II khi đó 2 2 0 2 2 1 T x y x y      

TH2:   ;x y thỏa mãn  I  

2 2 2 2 1 9 2 2 1 2 8 2 2 x y x y x y              

khi đó

   

2 2 2 1 1 9 1 1 9 9 9 9 9 2 2 1 2 2 1 2 . 4 2 4 2 8 4 2 2 2 2 2 2 x y x y x y                                         

Suy ra   9 1 max ; 2; 2 2 T x y        

Góc nhìn 4.

TH1: 2 2 2 1 x y  

BPT 2 2 2 2 1 x y x y     

 

2 2 2 .2 T x T x    