Bài tập tọa độ không gian phân theo dạng có lời giải chi tiết Trần Sĩ Tùng

Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian

Trang 1

TĐKG 01: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng bằng cách xác định vectơ pháp tuyến Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;4;1), B(–1;1;3) và mặt phẳng

(P): x y z –3 2 –5 0 + = . Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (P).

• (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) ⇒ (Q) có VTPT P n n AB , (0; 8; 12) 0   = = − − ≠   uuur r r r

⇒ Q y z ( ): 2 3 11 0 + − = . Câu hỏi tương tự: a) Với A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), 2 3 3 0 P x y z ( ): + + + = . ĐS: Q x y z ( ): 2 2 0 − + − = Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm

A B (2;1;3), (1; 2;1) − và song song với đường thẳng

x t d y t z t

1 : 2

3 2

= −+ =  = −−  .

• Ta có BA (1;3;2) = uur

, d có VTCP u (1;2; 2) = − r .

Gọi nr là VTPT của (P) ⇒ n BA n u ⊥ ⊥ 

uur r r r ⇒ chọn n BA u , ( 10;4; 1)   = = − −   uur r r

⇒ Phương trình của (P): x y z 10 4 19 0 − + − = . Câu 3. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 đường thẳng d1 ( ) và d2 ( )có phương trình:

x y z d1

1 1 2 ( ); 2 3 1 − + − = = , x y z d 2

4 1 3 ( ): 6 9 3 − − − = = . Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa

(d1) và d2 ( ) .

• Chứng tỏ (d1) // (d2). (P): x + y – 5z +10 = 0 Câu 4. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình:

x y z x y z 2 2 2 2 6 4 2 0 + + − + − − = . Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá của véc tơ v (1;6;2) = r , vuông góc với mặt phẳng x y z ( ): 4 11 0 α + + − = và tiếp xúc với (S).

• (S) có tâm I(1; –3; 2) và bán kính R = 4. VTPT của ( ) α là n (1;4;1) = r .

⇒ VTPT của (P) là: [ ] P n n v, (2; 1;2) = = − r r r ⇒ PT của (P) có dạng: x y z m 2 2 0 − + + = .

Vì (P) tiếp xúc với (S) nên d I P ( ,( )) 4 = m m

21 3  = − ⇔ =  .

Vậy: (P): x y z 2 2 3 0 − + + = hoặc (P): x y z 2 2 21 0 − + − = . Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1; –1; 1) và hai đường thẳng

x y z d1

1 ( ): 1 2 3 + = = − − và x y z d2

1 4 ( ): 1 2 5 − − = = . Chứng minh rằng điểm M d d 1 2 , , cùng

nằm trên một mặt phẳng. Viết phương trình mặt phẳng đó. • d1 qua M1(0; 1;0) − và có u1 (1; 2; 3) = − − r , d2 qua M2(0;1;4) và có u2 (1;2;5) = r .

u u 1 2 ; ( 4; 8;4) 0  = − − ≠  

r r r , M M 1 2 (0;2;4) = uuuuuur

⇒ u u M M 1 2 1 2 ; . 0   =  

uuuuuur r r ⇒ d d 1 2 , đồng phẳng.

Gọi (P) là mặt phẳng chứa d d 1 2 , ⇒ (P) có VTPT n (1;2; 1) = − r và đi qua M1 nên có

phương trình x y z 2 2 0 + −+ = . Kiểm tra thấy điểm M P (1;–1;1) ( ) ∈ .

PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng

Trang 2

Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến mặt cầu

Câu 6. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d: x y z 3 3 2 2 1 − − = = và mặt cầu

(S): x y z x y z 2 2 2 2 2 4 2 0 + + − − − + = . Lập phương trình mặt phẳng (P) song song với d và trục Ox, đồng thời tiếp xúc với mặt cầu (S). • (S) có tâm I(1; 1; 2), bán kính R = 2. d có VTCP u (2;2;1) = r .

(P) // d, Ox ⇒ (P) có VTPT [ ] n u i, (0;1; 2) = = − r r r ⇒ PT của (P) có dạng: y z D 2 0 − + = .

(P) tiếp xúc với (S) ⇔ d I P R ( ,( )) = ⇔ D

2 2 1 4 2 1 2

− + = + ⇔ D 3 2 5 − = ⇔ D D

3 2 5 3 2 5

 = +  = − 

⇒ (P): y z 2 3 2 5 0 − + + = hoặc (P): y z 2 3 2 5 0 − + − = .

Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x y z x y 2 2 2 2 4 4 0 + + + − − = và mặt phẳng (P): x z 3 0 + − = . Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm M(3;1; 1) − vuông góc với mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S). • (S) có tâm I(–1; 2; 0) và bán kính R = 3; (P) có VTPT P n (1;0;1) = r .

PT (Q) đi qua M có dạng: A x B y C z A B C 2 2 2 ( 3) ( 1) ( 1) 0, 0 − + − + + = + + ≠

(Q) tiếp xúc với (S) ⇔ d I Q R A B C A B C 2 2 2 ( ,( )) 4 3 = ⇔− + + = + + (*) Q P Q P n n A C C A ( ) ( ) . 0 0 ⊥ ⇔ = ⇔ + = ⇔ = − r r (**)

Từ (*), (**) ⇒ B A A B B A AB 2 2 2 2 5 3 2 8 7 10 0 − = + ⇔ − + = ⇔ A B A B 2 7 4 = ∨ = − • Với A B 2 = . Chọn B = 1, A = 2, C = –2 ⇒ PT (Q): x y z 2 2 9 0 + − − = • Với A B 7 4 = − . Chọn B = –7, A = 4, …